1.2 Исключение систематических погрешностей из результатов измерений

Точность результата многократных измерений тем выше, чем меньше систематическая погрешность. Поэтому до измерений очень важно ее исклю-чить, для чего:

• устраняют источники систематических погрешностей;

• определяют поправки и вносят их в результат измерения;

• оценивают границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений.

Источники систематических погрешностей могут быть устранены:

• до начала измерений регулировкой и поверкой средств измерений,

обеспечением нормальных условий измерений и т.д.;

• в процессе измерений способами противопоставления, замещения,

компенсации знака и т.д.

Определение и внесение поправок в результаты измерений представля-ет достаточно серьезную задачу, которая не может иметь однозначного алго-ритма. Поэтом при решении относительно простых инженерных измери-тельных задач может быть использован графический метод [8].

Сущность метода заключается в определении степени корреляции ре-зультатов измерений и последовательности их выполнения. Для этого по оси ординат на графике отмечают результаты наблюдений, а по оси абцисс - по-рядковые номера их получения. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломанную линию. На график наносят плавную кривую, аппрокси-мирующую полученные результаты и рассчитывают коэффициент корреля-ции. По величине коэффициента корреляции судят о степени связи между рассматриваемыми величинами. Принято считать, если коэффициент корре-ляции r_xy < 0,3, переменная составляющая систематической погрешности не существенна и ею можно пренебречь. Если же r_xy ≥ 0,3, то необходимо учи-тывать в результатах измерений поправку, т.е. использовать «исправленные» результаты измерений.

5

1.3 Определение оценки измеряемой величины

Оценку измеряемой величины, за которую принимают среднее ариф-метическое значение исправленных результатов измерений , вычисляют по формуле:

где n – количество результатов измерений; x_i – i – ое значение результата измерений.

Для удобства вычислений эту формулу допускается записать в виде:

где а - близкое к значение, удобное для расчета.

1.4 Расчет среднего квадратического отклонения результатов измерений

Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляют по формуле:

Результат измеряемого значения зависит от числа измерений п и явля-ется случайной величиной. Поэтому для различных п удобно вычислять среднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения ре-зультата измерения по формуле:

6

1.5 Обнаружение и исключение грубых погрешностей из результата измерений

Грубые погрешности (промахи) - это погрешности, не характерные для технологического процесса или результата, приводящие к явным искажениям результатов измерения.

Решение задачи исключения промахов выполняют общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утвер-ждении, что результат измерения не содержит промаха, т. е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистиче-скими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то этот результат измерения рассматривают как промах и его ис-ключают из рассматриваемой совокупности.

Проверку статистической гипотезы проводят для принятого уровня значимости q, принимаемого равным 0,01; 0,05; 0,1 и т.д. Принятый уровень значимости означает, что выдвинутая гипотеза может быть принята с дове-рительной вероятностью Р = 1 – q.

Для проверки гипотез используются критерии Граббса, Ирвина, Шо-вене, Романовского, Райта (3σ), Смирнова, Диксона, вариационного разма-ха и др.

1. Критерий Граббса. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа резуль-

татов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вы-числяют критерии Граббса G₁ и G₂, предполагая, что наибольший х_тах или наименьший x_min результат измерений вызван грубыми погрешностями:

Сравнивают G₁ и G₂ с теоретическим значением G_T критерия Граббса (табл. П1 приложений) при выбранном уровне значимости q.

7

Если G₁ > G_T, то x_max исключают как маловероятное значение, если G₂ > G_T, то исключают x_min. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторяют.

Если G₁ ≤ G_T, то х_mах не считают промахом и его сохраняют в ряду ре-зультатов измерений, если G₂ ≤ G_T, то сохраняют в ряду результатов измере-ний x_min.

2. Критерий Ирвина. Для полученных результатов измерений опреде-

ляют значение критерия Ирвина по формулам:

Полученное значение критерия сравнивается с табличным λ_Т (табл. П2 приложений). Если λ > λ_Т, то результат измерений является грубой погреш-ностью и подлежит исключению при дальнейшей обработке.

3. Если число измерений n < 10, то может быть использован критерий

Шовене. В этом случае грубой погрешностью считается результат x_i, если

разность превышает значения t∙σ, определяемые в зависимости от числа измерений:

4. При числе измерений 10 < п < 20 применяют критерий Романовско-

го. При этом вычисляют отношение:

где – среднее арифметическое, определенное без сомнительного ре-зультата;

σ₀ - среднее квадратическое отклонение, определенное без сомнитель-ного результата.

8

Полученное значение β сравнивают с теоретическим β_Т при выбран-ном уровне значимости q (табл. П3 приложений). При β > β_Т сомнительный результат измерений является промахом и подлежит исключению из рас-сматриваемой совокупности.

5. Критерий Райта или критерий 3σ - наиболее распространенный. Он используется, когда количество измерений п ≥ 20...50. В этом случае счита-

ется, что результат, полученный с вероятностью Р= 0,0027, маловероятен и его можно квалифицировать как промах, т. е. сомнительный результат дол-жен быть исключен из измерений, если

6. Критерий Смирнова используется при объемах выборки n ≥ 25 или при известных значениях генерального среднего и среднего квадратического отклонения. При этом определяются значения критерия по формуле:

Найденное значение сравнивают с табличным β_СТ (табл. П4 приложе-ний) и при условии β > β_CT результат измерений признается промахом.

7. Критерий Диксона. При использовании критерия вычисляется коэф-

фициент Диксона для наименьшего и наибольшего значений (табл. 1). Коэф-фициенты r₁₀ и r₁₁ применяют, когда имеется один промах, а коэффициенты r₂₁ и r₂₂ – при двух промахах.

Таблица 1 – Формулы для расчета критерия Диксона

Объем выборки

Коэффициент Диксона

Для наименьшего

Для наибольшего

результата

результата

3 - 7

r10

8 – 10

r11

11 – 13

r21

14 - 25

r22

9

Рассчитанные значения коэффициентов сравниваются с табличными r_q (таблица П5 приложений) и принимается решение об отсутствии грубых по-грешностей при r < r_q или о наличии промахов при r < r_q.