Группы Систем счисления

анатомического происхождения: десятичная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная, машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная,

алфавитные: славянская, древнегрузинская, древнеармянская, древнегреческая

Перевод чисел

Первый способ. Перевод целого числа из одной системы счисления в другую по ПРАВИЛАМ Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньше делителя.

Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка. 43210=А16=1ВО16

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

1 . Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной 0 или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

52. 0,6562510=0,528 53. 0,5625₁₀ = 0,1001₂.

Для перевода смешанных чисел: 1. Перевести целую часть. 2. Перевести дробную часть. Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления 1 способ Перевод по правилам.

2 Способ Перевод по сменному ряду

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A = an-1an-2...a1a0,a-1...a-m Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни.

Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq= ± (an-1 р n-1+an-2 р n-2+...+a0 р 0+a-1 р -1+a-2 р -2+...+a-m р -m)

или Аq = ± ai р ⁱ

Здесь А — само число, р — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n — число целых разрядов числа, m — число дробных разрядов числа.

Пример 1. 186,348₁₀=1100+810+61+30,1+40,01+80,001=

=110²+810¹+610⁰+310^-1+410^-2+810^-3

Пример 2. 231,44₅=25²+35¹+15⁰+45^-1+45^-2 Пример: 16810→А2 по правилу и по ряду

1. 1001,01₂ = 1·2⁰ +0·2¹ +0·2² +1·2³ +0·2^-1 +1·2^-2 =1 + 8 + 1/4 = 9,25₁₀

2. 180,65625₁₀ А₄ 180,65625₁₀ 2310,222₄

3 способ. Перевод по схеме Горнера. Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида x - c. Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера.

Старшую цифру умножаем на основание, добавляем вторую цифру, результат умножаем на основание, добавляем третью цифру и так до тех пор, пока не прибавим последнюю цифру. Результатом будет десятичная запись числа.

Рассмотрим развернутую запись числа в троичной системе счисления:

12012₃=1*3⁴+2*3³+0*3²+1*3¹+2*3⁰. В первых четырех слагаемых имеется общий множитель 3, который можно вынести за скобки. Получим:

1*3⁴+2*3³+0*3²+1*3¹+2*3⁰=(1*3³+2*3²+0*3²+1)*3+2. Теперь этот же множитель можно вынести из первых трех слагаемых:

1*3⁴+2*3³+0*3²+1*3¹+2*3⁰=(1*3³+2*3²+0*3¹+1)*3+2=((1*3²+2*3¹+0)*3+1)*3+2. наконец:

1*3⁴+2*3³+0*3²+1*3¹+2*3⁰=(1*3³+2*3²+0*3¹+1)*3+2=((1*3²+2*3¹+0)*3+1)*3+2=(((1*3+2)*3+0)*3+1)* 3+2.

формулу можно записать в общем виде: anan-1an-2...a1a0p=(...(an*p+an-1)*p+an-2)*p+...)+a1)*p+a0. Эта формула и является иллюстрацией схемы Горнера для перевода целых чисел в десятичную систему счисления.

Механизм вычислений можно представить так (на рассмотренном выше примере): 1 2 0 1 2 (выписываем цифры числа в заданной системе счисления). 1 5 15 46 140 (результат, полученный при умножении на основание и добавлении очередной цифры, записываем под соответствующей цифрой

=(((1*3+2)*3+0)*3+1)*3+2). Последнее число и будет ответ 140

Пример 1 1 0 1 0 1 1₂

3 6 13 26 53 107

1*2+1=3

3*2+0=6

6*2+1=13

13*2+0=26

26*2+1=53

53*2+1=107 Ответ:10710

6 6. Перевод дробных чисел: 0,11101012 S7=0:2+1=1

S6=1:2+0=0,5

S5=0,5:2+1=1,25

S4=1,25:2+0=0,625

S3=0,625:2+1=1, 3125

S2=1,31:2+1=1,65

S1=1,65:2+1=1,82

S0=1,82:2+0=0,9140 Получаем 0,1110101₂=0,9140₁₀

Алгоритм перевода целых двоичных чисел в систему с основанием g=2ⁿ Данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.

Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой в системе счисления с основанием g=2ⁿ

Пример: Перевести число в восьмеричную систему счисления 101100001000110010 Разбиваем число на триады

Перевести число 10000000001111100001112 в шестнадцатеричную систему счисления. Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

0010 0000 0000 1111 1000 0111

2 0 0 F 8 7

200f87 ₁₆ = 1000000000111110000111₂