Часть 1. Решение уравнения в Excel Порядок выполнения работы

1. Составить блок-схему и программу вычисления корня уравнения с по- грешностью  = 0,01 согласно выбранного способа иварианта;

2. Вычислить корень с помощью команды меню “EXCEL” - Подбор пара- метра

3. Вычислить корень с помощью второй команды менюРешателя

“EXCEL” - Поиск решения...,

Пример выполнения

На рис. 1.5. представлена таблица с результатами поиска корня простейшего уравнения X² - 3 = 0 командой Подбор параметра... из меню Сервис. После ее отдачи на дисплей выводится диалоговое окно (рис. 1.6), в котором пользователь заполняет три поля: “Установить в ячейке” (указывается ячейка В5), ”Значе- ние” (0) и ”Изменяя ячейку” (В4). Четвертый установочный параметр - исходное значение Х (там было 3), от которого начинается поиск корня, записывается в

ячейке В4 самой электронной таблицы. В таблицах, иллюстрирующих статью, изменяемые пользователем (исходные) величины отмечены курсивом. Полужир- ный шрифт отмечает комментарии.

Из рис. 1 видно (см. строки 2-5), что команда Подбор параметра... сработа- ла правильно.

Через изменение трех входных параметров: вид анализируемого уравнения, значение начального приближения (у нас оно равно трем) и точность расчета. Последний входной параметр пользователь менять не может, что чревато досад- ными ошибками: если в нашей задаче о корне уравнения Х² - 3 = 0 умножить его левую часть на коэффициент 0,0001 (см. строки 7-9 на рис. 1.5.), то искомый ко- рень “размажется” на недопустимо широком интервале оси Х, и никакая сила не заставит машину найти нужное решение - плюс-минус квадратный корень из трех.

Рис.1.5. Пример решения алгебраического уравнения в “EXCEL”

Изменение точности расчета (и многое другое) допустимо при использова- нии второй команды Решателя - команды Поиск решения..., после отдачи которой появляется одноименное диалоговое окно - см. рис. 1.7. Эта команда намного пе- рекрывает первую команду - команду Подбор параметра... . Работая с командой Поиск решения..., можно менять не только точность, но и другие параметры по- иска - см. рис. 1.8. Но опять же процесс приближений к корню ориентирован не на значение аргумента, а на значение функции, что чревато новыми ошибками.

Рис. 1.6. Окно подбора параметров решения уравнения.

Рис. 1.7. Окно поиска решения уравнения.

Рис. 1.8. Окно параметров поиска решения уравнения.

Часть 2. Решение уравнения методами среды MathCad Вводные замечания.

Многие алгебраические уравнения ,в том числе и трансцендентные, и сис- темы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться чис- ленными методами среды MathCAD с заданной погрешностью (не более значе- ния, заданного системной переменой TOL ). Для простейших уравнений вида F(x) = 0 решение находится с помощьюфункции

Root (Выражение, Имя_переменной).

Эта функция возвращает значение переменной, при котором выражение равно 0 с заданной точностью. Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменной.

На рис. 1.9. приведен пример иллюстрирующий технику применения функ- ции root для вычисления корней кубического уравнения.

Для поиска корней обычного полинома p(x) степени n MathCAD содержит очень удобную функцию :

polyroots(V).

Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n , коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину, равную n+1 .

Необходимо помнить что корни полинома могут быть как вещественными так и комплексными числами. Не рекомендуется пользоваться этой функцией, если степень полинома выше пятой-шестой, так как тогда трудно получить ма- лую погрешность вычисления корней. На рис. 9.1. приведен пример вычисления корней с применением функции polyroots.

Недостатком функции root является невозможность решения с её помощью систем уравнений.

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вы- числительный блок, открываемый служебным словом- директивой Given –и имеющий следующую структуру:

Начальные условия (вида var:=value ) Given

Уравнения (вида expr_left = expr_right) Ограничительные условия

Выражения с функциями Find, Miner, Minimize

Начальные условия определяют начальные значения искомых переменных. Они задаются обычным присваиванием переменным заданных значений. Огра- ничительные условия обычно задаются в виде неравенств, которые должны удовлетворяться при решении системы уравнений.

В блоке используется одна из следующих функций:

Find(v1,v2,..., vn) - возвращает значение одной или рядапеременныхдляточногорешения;

Minerr(v1,v2,... , vn) - возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения;

Рис. 1.9. Решение кубического уравнения