4.Задач

4.1 Задача 1 Определение минимально необходимого числа измерений в серии многократных измерений.

Условия:

Для определения содержания механических примесей, при подготовке воды в санитарной системе проведена серия многократных разноточных соединений. Результаты измерений сведены в Таблицу 1.

Требуется определить минимально необходимое количество измерений для обеспечения доверительной погрешности результата измерения =1 г/ . Доверительную вероятность принять Р=0,95

Таблица 1 ­– Исходные данные результата измерений

Число измерений ni	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Результаты измерений mi	20	19	22	21	19	21	23	22	20	19	22

1) Определим среднее арифметическое значение (оцениваем математическое ожидание) по формуле:

Среднее арифметическое значение составило 20,7 г/м³.

2) Определим среднеквадратичное отклонение отдельных результатов измерений относительно их среднего значения по формуле:

По результатам измерений можно определить доверительный интервал, в котором лежит истинное значение измеренной величины по формуле:

где t_n - табличный коэффициент стьюдента, который зависит от числа измерений в серии и выбранного значения доверительной вероятности Р(х). Мы зададимся доверительной вероятностью 95% Р(11)=0,95. При заданной вероятности коэффициент стьюдента составит 2,228;

S_Mn - стандартное отклонение среднего арифметического результата серии измерений, определяемое по формуле:

Следовательно, при 11 измерениях доверительная погрешность составит +/- 0,2 г/м³. А истинное значение измеряемой величины будет находиться в интервале , .

Определим минимально необходимое количество измерений по формуле:

Теперь определим минимально необходимое число измерений для обеспечения доверительной погрешности результата измерения не более 1 г/м³.

Выводы: Проведенные расчеты показывают, что при проведении 11 измерений, мы с 95% вероятностью обеспечиваем доверительную погрешность результата измерения содержания механических примесей в воде не более 0,2 г/м³. Однако нам необходимо обеспечить доверительную погрешность результата измерения содержания механических примесей в воде не более 1 г/м³. . И как показывают расчеты для данной доверительной погрешности нам необходимо провести меньше измерений.

4.2 Задача №2 Обработка многократного измерения

Исходными данными для выполнения работы являются 14 вариаций значений, полученных при многократном измерении содержания ртути в воде Нg, мг/л. Для определения количества содержания ртути в воде произведено 60 измерений в разных частях водоема. Измерения проводились следующим образом, в разных точках водоема бралось по 1 литру воды, и определялась масса содержания в них ртути. Результаты, общее число измерений в серии многократного измерения и число повторений каждого результата, представлены в таблице № 2.

Таблица 2- исходные данные

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Результат измерений, мг/л	15,10	15,15	15,20	15,25	15,30	15,35	15,40	15,45	15,50	15,55	15,60	15,65	15,70	15,75
Количество повторений mi	1	2	3	4	6	7	7	7	6	6	5	3	2	1

Требуется определить:

-Провести обработку экспериментальных данных и объяснить физический смысл результата.

-Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины x в 1 литре воды по критерию Пирса.

- в случае подтверждения гипотезы нормального распределения следует найти доверительный интервал для истинного значения количества ртути в одном литре водоема.

Рассеяние случайных значений, зависящих от множества факторов, ни один из которых не является преобладающим, подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

При обработке результатов многократного измерения проверяется гипотеза: подчиняется результат измерения нормальному закону распределения вероятности или нет.

Для этого выполним следующие действия:

1) Выбираем минимальное и максимальное количество содержания ртути в пробе:

Smin=15,10 мг/л

Smax=15,75 мг/л

Определяем количество интервалов по формуле:

, примем К=7.

Определяем шаг интервала по формуле:

Полученные интервалы заносим в таблицу № 3, и в ней же проводим вычисления середины интервала Х^*_i (слаживаем границы интервала и делим на 2), частоты интервала n_i (количество значений в данном интервале с учетом повторений) и относительные частоты интервала Р^*_i (n/число измерений).

Таблица 2 – Полученные интервалы

Интервалы	Середина X*i	Частоты ni	Относительные частоты интервала P*i
(15,10;15,199)	15,15	2	0,036
(15,199;15,298)	15,25	7	0,127
(15,298;15,397)	15,35	11	0,2
(15,397;15,496)	15,45	14	0,255
(15,496;15,595)	15,55	11	0,2
(15,595;15,694)	15,64	7	0,127
(15,694;15,793)	15,74	3	0,055
		Σ = 55	Σ = 1

(15,10;15,199) = среднеарифметическое 15,15

(15,199;15,298) = среднеарифметическое 15,25

(15,298;15,397) = среднеарифметическое 15,35

(15,397;15,496) = среднеарифметическое 15,45

(15,496;15,595) = среднеарифметическое15,55

(15,595;15,694) = среднеарифметическое 15,64

(15,694;15,793) = среднеарифметическое 15,74

Вычисляем выборочную среднюю:

Х = ΣХ_i*p

X₁ = 15,15*0,036 = 0,545

X₂ = 15,25*0,127 = 1,937

X₃ = 15,35*0,2 = 3,07

X₄ = 15,45*0,255 = 3,94

X₅ = 15,55*0,2 = 3,11

X₆ = 15,64*0,127 = 1,99

X₇ = 15,74*0,055 = 0,87

Σx = 0,545+1,937+3,07+3,94+3,11+1,99+0,87=15,46

Вычисляем выборочную дисперсию:

D₁ = (15,15-15,46)² *0,036 = 0,0035

D₂ = (15,25-15,46)² *0,127 = 0,0056

D₃ = (15,35-15,46)² *0,2 = 0,0013

D₄ = (15,45-15,46)² *0,255= 0,255

D₅ = (15,55-15,46)² *0,2 = 0,0016

D₆ = (15,64-15,46)² *0,127 = 0,0041

D₇ = (15,74-15,46)² *0,055 = 0,0043

D_общее = ΣD_1-7= 0,0035+0,0056+0,0013+0,255+0,0016+0,0041+0,0043 = 0,275

Вычисляем выборочное среднеквадратичное отклонение

δ = = = 0,524

=15,46, =0,275 =0,524

Предполагаем, что распределение нормальное, и по правилу трех сигм определяем интервал:

Все значения измерений попадают в данный интервал.

Проверяем гипотезу нормального распределения по критерию Пирсона. Данные представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Теоретические и эмпирические частоты

Интервалы, мм	15,10; 15,199	15,199; 15,298	15,298; 15,397	15,397 15,496	15,496 15,595	15,595 15,694	15,694 15,793		∑
Теоретические частоты, Ni	3	5	4	1	4	4		11		32
Эмпирические частоты, ni	2	7	11	14	11	11		7		55

P_i=(a<x<b)=φ

1. P_i=(15,10;15,199)=φ

N=55*x=55*0,06=~3

2. P_i=(15,199;15,298)=φ

N=55*0,1=~5

3. P_i=(15,298;15,397)=φ

N=55*0,07=~4

4. P_i=(15,397;15,496)=φ

N=55*0,02=~1

5. P_i=(15,496;15,595)=φ

N=55*0,07=~4

6. P_i=(15,595;15,694)=φ

N=55*0,07=~4

7. P_i=(15,697;15,793)=φ

N=55*0,2=~11

При использовании критерия Пирсона за меру отклонения принимается

=16.53

Затем сравниваем табличное значение x² с рассчитанным значениям x² с заданным уровнем значимости, равным 0,95 и количеством степеней свободы, определенным по формуле для нормального закона распределения

m=K-1-2=7-3=4

Табличное значение составило 9,5

Так как не соблюдается условие

x₂ < x² табличное

15.67<9.5

Гипотеза о нормальном распределении не подтвердилась, поэтому нельзя сделать оценку истинного количества содержания ртути в одном литре воды

Выводы: При обработке результатов многократных равноточных измерений мы установили, что условие x₂ < x² не выполняется и закон о нормальном распределении принимать нельзя. Доверительный интервал рассчитать не удалось.

Для выполнения данного условия, и принятия закона о нормальном распределении нужно провести большее количество испытаний.