2. Расчет обшивок плиты.

Поскольку в поперечном сечении плиты (рисунок 1) будет 6 участков шириной b₁ (рисунок 2), расчетную ширину верхней обшивки определим по формуле:

b_1расч= ;

соответственно:

b_2расч= .

Площадь поперечного сечения:

- верхней обшивки F₁ =δ₁ b_1расч.= = 10800 мм² = 108 см²;

- нижней обшивки F₂ =δ₂ b_2расч= =9600 мм² =96 см²;

- продольных ребер F_д = = 42900 мм²=429 см².

Выберем произвольную горизонтальную ось, совмещенную с нижней гранью нижней обшивки. Определим статические моменты относительно этой оси:

Положение нейтральной оси сечения плиты без учета податливости соединений обшивок с каркасом определяется по формуле:

,

где S_д, S₁, S₂ - статические моменты деревянного каркаса, и обшивок относительно произвольной оси;

F_д, F₁, F₂ - площади поперечных сечений каркаса и обшивок.

В случае использования асбестоцементных листов с пределом прочности при изгибе равном 16 МПа , получаем Е_а=Е_д=10000 МПа. Тогда формула примет вид:

,

Считаем плиту свободно опертой под равномерно распределенной нагрузкой, затем определяем коэффициент m, учитывающий распределение усилий между каркасом и обшивками по формуле:

где S₁^o, S₂^o – приведенные (к деревянному каркасу) статические моменты обшивок (рисунок 2) относительно нейтральной оси, положение которой определяется без учета податливости соединений обшивок с каркасом;

η – коэффициент, определяемый по СНиП 2.03.09-85 в зависимости от диаметра соединительных элементов;

k_m – коэффициент, принимаемый для элементов соединения из стали равным 1,0, из алюминия - равным 1,1;

n_c^/ – число срезов элементов соединений в каждом шве на половине пролета;

l – пролет плиты;

h_д – высота деревянного каркаса;

I_r^о – приведенный к материалу каркаса момент инерции сечения конструкции относительно оси.

Предварительно определим геометрические характеристики относительно оси y₀:

где в соответствии с диаметром шурупов d = 0,5 см, находим

η = [9, черт. 3];

K_m = 1,0 – для стальных шурупов;

n_c^/ = 61 (количество шурупов в одном шве на половине пролета по рисунку 3.

Рисунок 3. Расположение элементов крепления

Тогда:

Определим положение нейтральной оси сечения плиты с учетом податливости соединений обшивок с каркасом по формуле:

,

с учетом условия Е_а=Е_д:

,

Если обе обшивки выполнены из асбестоцементных листов, то значение m_o определяется по формуле:

,

где Е_а, Е_д, I_д – соответственно модули упругости асбестоцемента, древесины и момент инерции поперечных сечений деревянных продольных ребер каркаса;

I₁, I₂ – моменты инерции соответственно верхней и нижней обшивок, рисунок 2.

В случае использования асбестоцементных листов с пределом прочности при изгибе, равном 16 МПа, Е_а=Е_g=10000 МПа, расчетная формула будет иметь вид:

;

Так как m > m₀ , в дальнейшем расчете используем коэффициент m₀ = 0,32 (если m < m_o, то принимается m).

Затем вычисляем коэффициент β по формуле:

,

или с учетом условия Е_а=Е_g:

_,

Произведем сбор нагрузок на асбестоцементную плиту.

При объемной массе асбестоцемента 1750 кг/м³ нагрузка от верхней обшивки составит =17,5 кг/м² = 0,175 кН/м², нижней обшивки – =14 кг/м²=0,14 кН/м² .

Продольные ребра из древесины:

Бруски, образующие четверти:

Поперечные ребра из древесины:

Прижимные бруски:

Утеплитель минераловатный при ширине

мм,

Расчетное значение веса снегового покрова на 1 м². горизонтальной поверхности земли составляет 1,8 кН/м² для III снегового района.

Сбор нагрузок на асбестоцементную плиту оформляем в табличной форме.

Таблица 1 – Нормативная и расчетная нагрузки на 1 м² плиты

Наименование нагрузки	Нормативная нагрузка, кН/м2	Коэффициент надежности по нагрузке, γf	Расчетная нагрузка, кН/м2
Кровля рубероидная 3-х слойная	0,090	1,3	0,117
Асбестоцементные листы	0,315	1,1	0,347
Продольные ребра из древесины	0,143	1,1	0,157
Поперечные ребра из древесины	0,052	1,1	0,057
Бруски, образующие четверти	0,030	1,1	0,033
Прижимные бруски	0,012	1,1	0,013
Утеплитель	0,074	1,2	0,089
Итого:	0,716		0,813
Снеговая нагрузка	1,260	1/0,7	1,800
Полная нагрузка	1,976		2,613

Погонную нагрузку определим, умножив полученные значения на ширину плиты 1,5 м.

Тогда q_н = = 2,964 кН/м;

q = = 3,920 кН/м.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета:

Поперечная сила на опоре:

Рисунок 4. К определению расчетного пролета плиты

где с учетом опирания плиты (рисунок 4):

l_p = = 5926 мм.

В каждом конкретном случае вместо величины 40 мм принимается другое значение с учетом ширины верхнего пояса несущей конструкции и зазора между плитами 20 мм, но не менее 40 мм.

При изгибе плиты верхняя обшивка сжимается, а нижняя растягивается. Поскольку нагрузка от утеплителя на нижнюю обшивку незначительная, на местный изгиб её не проверяем. Верхнюю обшивку дополнительно следует проверить на действие сосредоточенной монтажной нагрузки 1000 Н с коэффициентом надежности γ_f = 1,2.

Так как обшивка крепится к каркасу шурупами по геометрическим осям ребер, расчетную схему верхней обшивки толщиной δ₁=10 мм принимаем в запас прочности как однопролетную шарнирно опертую балку пролетом l₀= 463 мм (рисунок 1). Для расчета в поперечном направлении плиты принимаем полосу шириной 100 см.

Погонная нагрузка от собственного веса асбестоцементного листа составляет:

q₀ = = 1925 кг/м = 0,193 кН/м.

P = = 1200 Н = 1,2 кН.

Тогда:

Момент сопротивления асбестоцементного листа:

Рисунок 5. К расчету верхней обшивки acбестоцементной плиты

Изгибные напряжения в верхней обшивке:

где R_wt = 11,5 МПа – расчетное сопротивление листового асбестоцемента изгибу поперек листа.

Проверяем прочность верхней сжатой обшивки при изгибе плиты по формуле:

,

где R_c – расчетное сопротивление листового асбестоцемента сжатию;

– расстояние от наиболее удаленной точки сечения до нейтральной оси.

Т. к. модули упругости равны Е₁=Е₂, то:

Отсюда видно, что недонапряжение значительное. Однако, можно убедиться, что если для верхней обшивки принять листы толщиной 8 мм (вместо 10 мм в данном примере), то они не будут удовлетворять прочности от действия сосредоточенной силы P=1000 Н.

Проверяем прочность нижней растянутой обшивки:

,

где R_t – расчетное сопротивление листового асбестоцемента растяжению;

– расстояние от наиболее удаленной точки сечения до нейтральной оси.

Т. к. модули упругости равны Е₁=Е₂, то:

Очевидно, для нижней растянутой обшивки можно использовать листы с минимальной толщиной 6 мм в силу запаса прочности более чем в 2 раза. Этот вариант предоставляется проверить самостоятельно. Однако лист с толщиной 6 мм целесообразно рекомендовать для ненагруженных конструкций, например, подвесных потолков.