Задача №1 Рух механічної системи зі сталим прискоренням

Вантаж піднімається двигуном з прискоренням за допомогою блока і кронштейна (рис. 1). Який максимальний вантаж можна підняти з указаним прискоренням, якщо допустимі напруження для стержнів на розтяг , на стиск , .

При відстані точки B від стінки l₀ = 1 м визначити сумарний об’єм матеріалу стержнів, якщо встановити для них коефіцієнт запасу міцності k = 1,5; та підрахувати коефіцієнти витрат металу на 1 кг піднятого вантажу.

Розв’язування.

Динамічний розрахунок кронштейна (рис.1) з урахуванням сил інерції аналогічний статичному, якщо згідно з принципом Даламбера до зовнішнього навантаження додати сили інерції, які спрямовані в бік протилежний прискоренню, і вважати, що система перебуває в стані миттєвої рівноваги. Відповідно до методу перерізів розглянемо рівновагу вузла В.

Сила натягу троса по всій його довжині однакова і спрямована вздовж нього від блока В; з урахуванням сил інерції вона дорівнює

. (1)

Рис.1

Стержні АВ і ВС – невагомі й шарнірно закріплені, і у цій конструкції виникають лише повздовжні сили, які спрямуємо від вузла В (вважаємо стержні розтягнутими). Оскільки стержні взаємно перпендикулярні, осі координат обираємо вздовж стержнів.

Вузол В знаходиться під дією плоскої системи збіжних сил, тому можемо скласти два рівняння рівноваги:

, (2)

. (3)

Розв’язуючи рівняння (2) і (3), з урахуванням (1) отримаємо

(4)

(5)

Стержень ВС стиснутий, стержень ВА розтягнутий.

Знаходимо напруження

(6)

(7)

Для знаходження вантажу, який можна підняти з указаним прискоренням, використаємо умови міцності. Для стержня ВА

(8)

Аналогічно для стержня ВС

,

(9)

Обираємо меншу масу (9). Максимальний вантаж, який можна підняти

. (10)

Знайдемо об’єм матеріалу стержнів 1, 2 та оптимальний об’єм, якщо з умови рівноміцності стержнів покласти

_{(11) Підставимо напруження (6) і (7) та отримаємо оптимальні площі стержнів}

(12)

Знайдемо довжини стержнів:

(13)

За умов експлуатації (табл. 1) сумарний об’єм матеріалу стержнів буде

₍₁₄₎

_{За умови рівноміцності (11) стержнів з перерізами (12) стержні будуть мати об’єм}

₍₁₅₎

_{Порівнюючи об’єми (14) і (15), бачимо, що умови рівноміцності приводять до значно менших витрат матеріалу на одиницю піднятої ваги (10). Відповідні коефіцієнти мають значення}

₍₁₆₎

_{Таким чином, умова рівноміцності приводить до найекономнішого використання конструкційних матеріалів: оптимальний об’єм матеріалу в 4 рази менший за попередньо визначений.}

Задача №2* Сили інерції й напруження у високообертальних механізмах

Вал діаметром обертається з сталою кутовою швидкістю . В перерізі С до валу прикріплена кулька масою m. Визначити найбільші нормальні напруження в поперечних перерізах валу АВ, викликані вагою кульки та відцентровою силою інерції. Підрахувати найбільшу допустиму частоту обертання *, якщо допустиме напруження матеріалу вала _adm = 200 МПа.

Розв’язування.

Найбільше динамічне навантаження буде при нижньому положенні кульки (рис.2). В цьому положенні сила власної ваги кульки та сила інерції спрямовані від осі вниз і складаються. Тут – відцентрове прискорення направлене від осі обертання.

Використовуючи принцип Даламбера, отримаємо

. (1)

Для першої схеми (рис.2, а) максимальний згинальний момент виникає в перерізі В і дорівнює

. (2)

Рис.2

Максимальні нормальні напруження в небезпечному перерізі В визначаються за формулою

, (3)

де – осьовий момент опору для поперечного перерізу валу.

Для другої схеми реакції опор в силу симетрії однакові і дорівнюють половині навантаження . Тому максимальний згинальний момент виникає в перерізі С (рис.2,б) і дорівнює

. (4)

Максимальні нормальні напруження в небезпечному перерізі В визначаються за формулою

. (5)

Застосуємо до (5) умову міцності

(6)

Розв’яжемо нерівність (6) відносно 

(7) - максимально можлива швидкість обертання вала (для варіанту рис. 1 б).

Неважко бачити, що максимальне напруження у варіанті а),- (3), у 2 рази більше за напруження (6) варіанту б). Відповідно у формулі (7) для максимальної швидкості обертання для варіанту а) треба покласти

^*_adm =_adm/2.

Числовий приклад: m = 3 кг; d = 0,05 м; l = 1м;  =30 с^-1.

Знайдемо за (6) максимальне напруження у варіанті б) за цими даними

(8) Відповідно для варіанту а) маємо:

(9)

Як бачимо, напруження (8) не перевищує допустимого, а (9) – перевищує його. Отже, у варіанті б) кутову швидкість обертання вала можна збільшити, а у варіанті а) треба зменшити з граничної умови міцності (6). Підрахуємо граничні значення (7) для обох варіантів:

а) (10)

б)

Дійсно, як було зазначено вище, у варіанті а) нам прийшлося дещо зменшити кутову швидкість обертання ексцентрика, а у варіанті б) можна підвищити її на 10 с-1.