15. Независимость случайных величин. Условные распределения.

Независимость случайных величин

Напомним, что события А и В называются независимыми, если

Определение 1. Дискретные случайные величины и называются независимыми, если при любых и

или

Определение 2. Непрерывные случайные величины называются неза­висимыми, если для любых х и у для плотностей справедливо равенство:

Определение 3. Понятие независимости для случайных величин об­щего типа формулируется в терминах функций распределения. Величины и независимы, если

Определение 4. n случайных величин называются неза­висимыми в совокупности, если

Условные распределения

а) Рассмотрим сначала дискретные случайные величиныи, опре­деляемые совокупностьюточек на плоскости и соответствую­щими вероятностями. Предположим, что эксперимент прове­ден. Стало известно значение одной компоненты=у, но значение дру­гой компоненты остается неизвестным. Возникает вопрос: како­вы вероятности того, чтоимеет различные значения? Выпишем эти вероятности по формуле условной вероятности:

В этом выражении изменяется, ау зафиксирован.

Определение. Совокупность по вероятностей (5.14) называетсяусловным распределением случайной величины при условии известного значения= у.

Просуммировав (5.14) по , с учетом (5.3б) убеждаемся, что

б) Рассмотрим непрерывные случайные величины и, определяе­мые плотностью совместного распределения. Предположим, что эксперимент проведен. Стало известно значение одной компоненты=у но значение другой () остается неизвестным. Каково теперь рас­пределение значений для

Определение. Плотностью условного распределения случайной вели­чины при условии известного значения= у называется функция от х:

Убедимся в том, что предел равен отношению плотностей. Действи­тельно

при . В выражении для условной плотностипеременной являетсях, а значение у фиксировано. Интегрирование (5.16) по х с учетом (5.3а) дает 1:

Замечания.

1.Поскольку значение у зафиксировано,

Эта запись означает, что условная плотность, как функция х, совпада­ет с точностью до константы с сечением функции двух переменных при фиксированном значениидругой переменной. Нормирующая константаопределяется из условия

2.Еслиинезависимы, т.е., то

т.е. условное распределение совпадает с безусловным.

3.Аналогично (5.16) вводится условное распределение случайной ве­личины при условии известного значения:

Замечания 1, 2, 3, сделанные для непрерывных случайных величин, справедливы и для дискретных, надо лишь плотности заменить вероятно­стями и интеграл — суммой.

Условные математические ожидания и условные дисперсии

Для условных распределений мы можем определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики. Они нужны для многих целей, в частности, для прогноза. Если стало известно значе­ние одной компоненты=у, и мы хотим предсказать ненаблюдаемую компоненту , то лучшим прогнозомявляется условное матема­тическое ожидание:

Например, известна на сегодня температура в Москве, а мы хотим предсказать температуру в Ярославле. Лучшим прогнозом является ус­ловное математическое ожидание. Здесь лучшим прогнозом мы понимаем такой, для которого средний квадрат ошибки минимален.

Для того чтобы рассматривать одновременно дискретные и непре­рывные случайные величины, будем использовать единое обозначение , понимая его как плотность, еслиинепрерывны, и как веро­ятность при дискретных аргументах, еслиидискретны. Аналогично: условные распределенияи распределения компо­нент.

Определение. Условным математическим ожиданием случайной ве­личины при условии известного значения=у называется

Определение. Условной дисперсией случайной ве­личины при условии известного значения=у называется

Поскольку значение у случайно, мы можем рассматривать значения функций икак случайные величины:

Справедливы следующие замечательные формулы:

Покажем справедливость (5.21) для дискретных случайных величин. Запишем формулу полной вероятности в наших обозначениях

Умножим это соотношение на х и просуммируем:

что означает

Покажем справедливость (5.22). По формуле (4.14), справедливой для любых распределений, в том числе условных

Здесь слева и справа — функции от у, которые мы можем рассматри­вать как функции от случайной величины :

Если определить математическое ожидание слева и справа (используя свойство из раздела 6: математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий), то получим

Определим второе слагаемое в (5.22):

Складывая (5.23) и (5.24) и дважды применяя (5.21), получим (5.22):