§ 4. Системы дифференциальных уравнений.

Ознакомительно изучим системы дифференциальных уравнений. Как правило, система из n уравнений сводится к уравнению порядка n, поэтому часто для решения систем дифф. уравнений достаточно уметь решать уравнения порядка n. Однако здесь есть и матричный метод решения, не предполагающий сведение системы к уравнению.

Если есть несколько равенств, выражающих производные от различных функций через сами эти функции, например,

то говорят, что задана система дифференциальных уравнений.

Если рассматривать столбец, состоящий из функций как векторную функцию, то вид записи системы похож на вид уравнения 1 порядка: .

Как правило, при размерности пространства 3, в физических задачах, переменную обозначают (время), а функции .

Если все функции не зависят от , а выражаются только через , то система называется автономной.

Система линейных однородных дифференциальных уравнений:

В 2-мерном случае

В 3-мерном случае

Физический смысл. Вектор, состоящий из производных, это вектор скорости, а выражен он через координаты в момент времени . Получается, что система дифференциальных уравнений задаёт закон движения некоторого потока частиц. К примеру, если в некотором объёме дует ветер, то от того, куда поместить пылинку, зависит траектория её дальнейшего полёта. Если поток не меняется, то траектория не зависит от времени (когда система автономна). Задать координаты в нулевой момент времени означает задать условия Коши для системы дифференциальных уравнений.

Методы решения. Можно свести систему из двух уравнений 1-го порядка к одному уравнению, но 2-го порядка. Рассмотрим на примере. Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Выразим из 1-го , тогда , подставим во 2-е: что сводится к .

Это линейное однородное уравнение решается обычным образом, его общее решение .

Тогда , = .

Итак, общее решение системы:

, =

Его можно записать в векторной форме:

Кстати, векторы (1,2) и (1,3) являются собственными векторами матрицы этой системы, причём они соответствуют собственным числам 1 и 2. Существует и второй способ решения систем: с помощью собственных векторов.

,

Корни то есть 1 и 2. Ищем собственные векторы:

При нужно решить систему , т.е.

, что даёт вектор (1,2).

При нужно решить систему , т.е.

, что даёт вектор (1,3).

ФСР состоит из собственных векторов, умноженных на экспоненты в степени собственных чисел.

.

ЛЕКЦИЯ № 9. 11. 04. 2017

§ 5. Комплексные числа, их связь с дифф.Уравнениями.

При изучении числовых систем в школе становится привычным понятие «действительная ось», «действительные» («вещественные») числа. Но эта система чисел является неполной, так как не содержит корни некоторых, казалось бы, простых уравнений, например . Если у квадратичного уравнения отрицательный дискриминант, то есть , то на действительной оси нет ни одного корня уравнения. Однако существует система условных, обобщённых чисел, где и такие уравнения тоже имеют решения. Они называются комплексными числами и геометрически соответствуют точкам на плоскости, а известная ранее действительная ось - это горизонтальная ось Ох в данной плоскости. Введено абстрактное понятие «мнимая единица» обозначающая «квадратный корень из минус 1». При этом получается .

Геометрическая интерпретация. На плоскости, горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.

Но ведь и множество отрицательных чисел тоже когда-то в прошлом считали абстракцией, потому что они не отражают никакое реальное количество объектов.

.

Комплексные числа - ещё более абстрактное обобщение. Оно полезно при решении различных физических задач. Плоскость комплексных чисел есть расширение множества действительных чисел. Каждой точке на плоскости с координатами можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , .

Если , то число это обычное действительное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости.

= .

Для вычитания аналогично: = .

Умножение.

= , учитывая тот факт, что ,

получаем = .

Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть и привести подобные.

Пример. = = .

Определение. число называется сопряжённым к .

Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа:

= = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0, и получается действительное число. Этот факт можно использовать для процедуры деления. Если домножить на сопряжённое в знаменателе, то там получится действительное число, и это даст возможность разбить на сумму двух дробей. При этом, конечно, в числителе тоже домножаем на сопряжённое к знаменателю, чтобы дробь не изменилась.

= = =

Пример. Вычислить .

= = = = =

Поиск корней многочлена 2 степени при D < 0.

Пример. Решить уравнение . = .

Теперь можно вычислить 2 корня, правда, они не на действительной прямой:

= = = .

Как видим, 2 корня получились взаимно сопряжённые, то есть вида , так как в выражении было , где D отрицательно. Для многочлена с отрицательным дискриминантом всегда получаются 2 взаимно сопряжённых корня.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Введём величину тогда можно представить в таком виде: , для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза.

Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Кстати, эти величины и называются полярными координатами точки на плоскости.

Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим:

= = .

Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.

.

Понятие модуля не противоречит известному понятию, применявшемуся раньше для отрицательных чисел: и там, и здесь модуль - есть расстояние по кратчайшей линии до начала координат.

Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти. Это связано с тем, что период тангенса равен , график этой функции непрерывен на интервале от до .

Так, число запишется в виде .

Число соответствует .

Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:

= = .

Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).

Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .

Показательная форма комплексного числа.

Известна формула Эйлера , таким образом, выражение может быть записано в виде .

Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова:

.

=