21.3.5. Решение лнду 2 пор. Методом вариации произвольных постоянных

Пусть найдено общее решение y*=c₁y₁+c₂y₂ ЛОДУ, соответствующего уравнению (21.8), в котором p, q могут быть и функциями от х. Функции у₁(х), у₂(х) образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение у уравнения (21.8) в виде y= c₁(х)y₁+c₂(х)y₂, где c₁(х), c₂(х) - пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Имеемy=c₁y₁+c₂y₂+c₁y₁+c₂y₂. Положим c₁y₁+c₂y₂=0, тогдау=c₁y₁+c₂y₂, у=с₁у₁+с₂у₂+с₁у₁+с₂у₂ .

П одставим у, у, у в уравнение (21.8), сгруппируем слагаемые с с₁(х) и с₂(х): с₁(х)( у₁+pу₁+qу₁)+с₂(x)( у₂+pу₂+qу₂) +с₁(x)у₁+с₂ (x)у₂=f(x).

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как у₁(х), у₂(х) - решения однородного уравнения. Поэтому для определения с₁(x), с₂ (x) полу-

чаем систему Система имеет единственное решение, так как ее определитель 0. Интегрируя полученные с₁(x) и с₂ (x), найдем с₁(x) и с₂ (x), т.е. частное решение у.

Пример: Ищем общее решение в виде y=y*+y.

а ) y* - общее решение уравнения y+4y=0, характеристическое уравнение k²+4=0, k_1,2=2i  y*=c₁cos2x+c₂sin2x.

б) y=c₁(x)cos2x+ c₂(x)sin2x 

c ₁(x)=- c₂(x)= y=c₁cos2x+c₂sin2x+

22. Понятие о решении оду высших порядков и систем дифференциальных уравнений

22.1. Линейные ду n-го порядка

О: ОДУ n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных:

a ₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y+a_n(x)y=b(x), (22.1)

где a_i(x), i=0,n, b(x) непрерывны на некотором интервале (,). Если b(x)0, то (22.1) называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным уравнением 

Общее решение ЛОДУ n-го порядка имеет вид

y=c₁y₁+ c₂y₂+...+ c_ny_n,

г де c_i, i=1,n - произвольные постоянные, а y₁(х),y₂(х),...y_n(х) образуют фундаментальную систему решений, т.е. определитель Вронского

Общее решение ЛНДУ (21.1) имеет ту же структуру, что и при n=2.

Наиболее простым является случай уравнения вида y⁽ⁿ⁾=f(x), его общее решение можно найти последовательным n-кратным интегрированием:

y^(n-1)=f(x)dx+c₁,

y^(n-2)=[f(x)dx+c₁]dx+c₂=dxf(x)dx+c₁x+c₂,

....................................................................

y=dxdx...f(x)dx+ (n!=1^.2^.3^....n).

22.2. Нормальные системы оду и их интегрирование

методом исключения

О: Совокупность дифференциальных уравнений, связывающая между собой несколько функций, называется системой ДУ 

О: Порядком системы ДУ называется наивысший из порядков уравнений, входящих в нее 

Далее ограничимся системами первого порядка относительно y₁(x), y₂(x),..., y_n(x).

О : y_i=f_i(x,y₁,...,y_n), i=1,n - нормальная система ОДУ 1 порядка, правые части уравнений этой системы не содержат производных искомых функций 

О: Решением системы ДУ называется совокупность функций y_i(x), i=1,n, удовлетворяющая каждому из уравнений этой системы.

Рассмотрим нормальную систему из 3-х уравнений:

x=f₁(t,x,y,z),

y=f₂(t,x,y,z),

z=f₃(t,x,y,z).

Для нее теорема Коши о существовании и единственности решения формулируется следующим образом.

Т: Пусть функции f_i(t,x,y,z), i=1,2,3 непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда, какова бы ни была точка (t₀,x₀,y₀,z₀) D, существует единственное решение системы ДУ: x(t), y(t), z(t), удовлетворяющее начальным условиям

Для интегрирования системы можно применить метод, с помощью которого эта система из трех уравнений 1 порядка сведется к 1-му уравнению 3 порядка относительно одной функции. Такой метод называется методом исключения.

П ример: Дифференцируя первое уравнение по t, получим x=-7x+y, y подставим из второго уравнения: x=-7x-2x-5y, а y - из первого: x=-7x-2x-5(x+7x) или x+12x+37x=0. Решим его характеристическое уравнение: k²+12k+37=0,k_1,2=-6ix=e^-6t(c₁cost+c₂sint),

x =-6e^-6t(c₁cost+c₂sint)+e^-6t(-c₁sint+c₂cost)y=x+7x=e^-6t[(c₁+c₂)cost+(c₂-c₂)sint]