Преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот.

При расчёте эл. цепей, которые не удаётся свести к одному результирующему (эквивалентному) сопротивлению путём замены последовательно или параллельно соединённых сопротивлений их эквивалентными величинами, приходится прибегать к более сложным преобразованиям. В частности, если в цепи встречается замкнутый контур из трёх сопротивлений, образующих стороны треугольника (рис. 2.6), то эти сопротивления, соединёнными в одной узловой точке образуют трёхлучевую звезду.

Например, заменим треугольник abc звездой abc с соблюдением условия эквивалентности - так чтобы параметры (токи ветвей и межузловые напряжения) схемы вне преобразуемой цепи остались без изменения.

Рис. 2.6- Преобразование треугольника в звезду.

I_a=0 R_b+R_c=R_bc(R_ab+R_ca)/(R_ab+R_bc+R_ca) (1)

I_b=0 R_a+R_c=R_ca(R_ab+R_bc)/(R_ca+R_ab+R_bc) (2)

I_c=0 R_a+R_b=R_ab(R_bc+R_ca)/(R_ab+R_bc+R_ca) (3)

Решая систему относительно R_a, R_b, R_c , находим их:

R_a=R_abR_ca/(R_ab+R_bc+R_ca) (4)

R_b=R_bcR_ab/(R_ca+R_ab+R_bc) (5)

R_c=R_caR_bc/(R_ab+R_bc+R_ca) (6)

Для замены звезды треугольником аналогично определяем R_ab, R_bc и R_сa, т.е. надо решить систему уравнений 4,5,6 относительно R_ab, R_bc и R_сa:

R_ab=R_a+R_b+R_aR_b/R_c (7)

R_dc=R_b+R_c+R_bR_c/R_a (8)

R_ca =R_a+R_c+R_aR_c/R_a (9)

Отметим, что указанные преобразования могут быть применены только в тех случаях, когда в замкнутом треугольнике сопротивлений или в трёхлучевой звезде отсутствуют источники ЭДС.

Сложные цепи. Цепи с несколькими источниками питания

Перечень методов расчёта сложных эл. цепей:

1. Расчёт схем по закону Ома.

2. Расчёт схем по уравнениям закона Кирхгофа.

3. Расчёт схем по методу наложения или суперпозиции.

4. Расчёт схем по методу свёртывания и развёртывания.

5. Расчёт схем по методу контурных токов.

6. Расчёт схем по методу узловых потенциалов.

7. Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника.

8. Расчёт схем по методу компенсации.

9. Топологический метод расчёта.

Последовательность расчёта сложных электрических цепей постоянного тока с использованием уравнений Кирхгофа:

1.Упрощение схемы расчёта.

2.Наносят на схеме известные направления э.д.с.

3. Задают положительные направления токов

4. Составление уравнений по 1-му закону Кирхгофа для всех узловых точек схемы, кроме одной.

5. Составляют недостающие уравнения по 2-му закону Кирхгофа, обходя замкнутые контуры по часовой стрелке или - против часовой. При этом э.д.с. и токи, совпадающие по направлению принимаются положительными, а встречные - отрицательными

6. Решение составленных уравнений.

7. Нахождение неизвестных токов.

Рассмотрим пример: Найти токораспределение в схемах, представленных на рис. 2.7а. Исходные данные; Е₁=72в, Е₂=48в, r₁=3ом r₂=4ом r₃= 6ом, r₄= 10ом, r₅=15ом.

Решение. Предварительно упрощаем схему и находим эквивалентное сопротивления, заменяющее r_3, r_4, и r_5.

= + =6+

На упрощённой схеме (рис.2.7б) наносим заданные положительные направления э.д.с. Е₁ и Е₂ и произвольно намечаем направления неизвестных токов I₁, I₂ и I₃.

I

а) в)

Рис. 2.7- Расчётные схемы к примеру: а)-исходная; в)-упрощённая

Применяя к этой схеме законы Кирхгофа составляем три уравнения:

I₁+I₂=I₃ I₁+I₂=I₃

Е₁−Е₂= I_1∙ r₁−I₂∙r₂ 72−48=3I₁−4I₂

Е₁=I₁∙ r₁+I_э∙r_э 72=3I₁+12I₃.

Решая эту систему уравнений, находим:

I₁₌6а; I₂=−1.5а; I₃=4.5а.

Полученный отрицательный знак у величины I₂ означает, что в действительности этот ток направлен в противоположную сторону.

Ток I₃ распределяется между параллельными ветвями r₄ и r₅ обратно пропорционально этим сопротивлениям. Действительное токораспределение по всей схеме показано на рис. 2.6а.

Расчёт сложных цепей методом наложения или суперпозиции. Расчёт разветвлённых с несколькими источниками питания (сложных цепей) основан на использовании 1-го и 2-го законов Кирхгофа. Рассмотрим метод расчёта, основанный на использовании 1-го и 2-го законов Кирхгофа – метод (наложения) или суперпозиции и приведём пример расчёта (рис. 2.8, 2.8а, 2.8б).

Этот метод основан на принципе независимости действия электродвижущих сил. Согласно этому принципу токи, протекающие в цепи при наличии нескольких ЭДС, можно представить как алгебраическую сумму токов, вызываемых каждой из ЭДС в отдельности.

Расчёт сложных цепей этим методом производят, полагая все ЭДС, кроме одной, равны нулю. При этом сохраняются все неизменными сопротивления цепи (включая сопротивление источника питания, ЭДС которого приравнена нулю). Для получения схемы определяют токи во всех ветвях. Подобный расчёт производят столько раз, сколько ЭДС имеется в исследуемой цепи. Действительный ток в каждой из ветвей определяют как сумма найденных частичных токов. Метод применим только к электрическим цепям , где сопротивления не зависят от протекающих по ним токов.

Итак, рассмотрим пример схемы и метода (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Рис. 2.8а

Рис. 2.8б

Метод применим только для цепей с линейными сопротивлениями.

Тепловая защита электрических установок. Известно, что короткое замыкание может вызвать нарушение энергоснабжения и повреждение электрооборудования. Чтобы ограничить тяжёлые последствия короткого замыкания, необходимо как можно быстрее отключить от источника питания тот участок цепи, на котором возникло короткое замыкание или перегрев управляемого объекта (например, электродвигателя). Для этого применяют специальные защитные устройства, простейшими из которых являются плавкие предохранители или тепловое реле.

Плавкий предохранитель характеризуется номинальным током и напряжением.

Основным элементом любого предохранителя является металлическая вставка (в большинстве случае медная проволока), включаемая последовательно в защищаемую цепь (рис.2.9).

Рис.2.9

При коротком замыкании на зажимах генератора внешнее сопротивление становится близким к нулю, и ток генератора достигает наибольшее значение и может во много раз превышать номинальный нагрузочный ток. R_н =0 и напряжение на зажимах генератора U_г становится равным нулю.

При тепловом действии тока короткого замыкания вставка в цепи П расплавляется и размыкает цепь и должна производиться замена сгоревшей плавкой вставки предохранителя.

В электроприводах устанавливается обычно тепловое реле (рис. 2.10)

Рис. 2.10

Плавкий предохранитель характеризуется номинальным током и номинальным напряжением.

,

где -предельный ток, который длительно выдерживает предохранитель, не разрушаясь. U_ном- предельное напряжение, которое разрывает цепь предохранителя без возникновения эл. дуги.

Выбор предохранителей производится из следующих соображений.

1. Потребитель несущий спокойную нагрузку

2.Потребитель несущий скачкообразную (толчковую) нагрузку (электродвигатели)

Стандартные значения ПР.: 0.1, 0.3, 0.5, 1, 2, 4, 6, 10, 20, 25. Условные наименования: ПР-1, ПР-2, ПН.