Методы оптимизации

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:

Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, которые известны из курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы.

Методы вариационного исчисления обычно используют для решения задач, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции.

Динамическое программирование служит эффективным методом решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задается как аддитивная функция критериев оптимальности отдельных стадий.

Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений.

Линейное программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи обычно встречаются при решении вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок (транспортные задачи) и т. д.

Методы нелинейного программирования применяют для решения оптимальных задач с нелинейными целевыми функциями. На независимые переменные могут быть наложены ограничения также в виде нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи.

Геометрическое программирование – метод решения одного специального класса задач нелинейного программирования, в которых критерий оптимальности и ограничения задаются в виде позиномов – выражений, представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых переменных. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в проектировании. Кроме того, некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно свести к указанному представлению, используя аппроксимационное представление для целевых функций и ограничений.

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике.

Классификация методов оптимизации по математической природе оптимизируемых величин.

Эта классификация самая существенная, так как в зависимости от того, является оптимизируемая величина X скаляром, вектором, функцией или экземпляром дискретного множества, подходящие методы оптимизации будут совершенно различны.

Одномерная оптимизация

Понятно, что конструкцию нет смысла оптимизировать по одному из размеров, но методы оптимизации скалярных величин X  R¹ могут использоваться как вспомогательные для оптимизации по направлению (например, по направлению градиента). Одномерная оптимизация может иметь смысл при поиске оптимальных условий применения, например, угла возвышения при выстреле или задержки срабатывания ракетного двигателя для получения максимальной дальности полета, высоты раскрытия кассеты для получения максимальной эффективности действия и т.п.

Многомерная оптимизация

Поиск наилучшего значения целевой функции в n-мерном пространстве X  Rⁿ (или в ограниченной области X D  Rⁿ) называется многомерной или конечномерной оптимизацией. Методы многомерной оптимизации составляют основу аппарата оптимального проектирования, выполняющего поиск оптимального сочетания проектных параметров. К этому классу методов принадлежат большинство существующих программ для ЭВМ и сам термин математическое программирование.

Оптимальное управление

Объектами оптимизации могут быть функции на отрезке [a, b] (X ), например, закон управления, минимизирующий затраты на совершение маневра, форма образующей головной части с минимальным сопротивлением движению в воздухе или прочной преграде. Математические методы решения задач оптимального управления связаны с минимизацией целевого функционала в банаховых и гильбертовых пространствах. Доказательство применимости этих методов (выпуклость функционалов и т.п.) не всегда возможно. Универсальные методы конечномерной численной оптимизации в меньшей степени используют априорные свойства математической модели, их можно применить и для решения бесконечномерных задач после дискретизации разбиением отрезка [a, b] на конечное число интервалов. Еще один способ – сужение класса функций (параболы, полиномы) – сводит задачу поиска оптимальной функции к оптимизации параметров известной функции.