Понятие погрешности.

Различают два вида погрешностей - абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения. Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к истинному значению числа.

Абсолютной погрешностью приближенного числа а назовем величину ∆а, про которую известно, что .

Таким образом, точное число заключено в границах или сокращенно .

Пример. Приближенные числа а₁=2,87; а₂=300; а₃=3*10² получены округлением, точные значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных приближенных чисел?

Решение. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.

Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность ∆a принимается равной половине единицы последнего разряда числа.

Пример. Значение а=0,734 могло быть получено округлением чисел 0.73441, 0.73353 и др. При этом ∆a≤0,0005, и полагаем ∆a=0,0005.

При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не производятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются. В этом случае максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления.

Абсолютная погрешность связана с размерностью и не полностью характеризует результат. Например, известно, что абсолютная погрешность равна 3 см. Ясно, что имеем совершенно различный по точности результат, если речь идет о длине карандаша или о расстоянии между Землей и Сатурном. Поэтому вводят понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью δа приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности ∆а к абсолютной величине приближенного числа а:

Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность ∆a принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, значение а=0.734 могло быть получено округлением чисел 0.73441, 0.73353 и др. При этом ∆a≤0.0005, и полагаем ∆a=0.0005.

Приведем примеры оценки абсолютной погрешности при некоторых значениях приближенной величины а.

При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не производятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются. В этом случае максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления.

Например: относительная погрешность δ(-2.3) = 0.05/2.3 ≈ 0.022 (2.2%). Заметим, что погрешность округляется всегда в сторону увеличения. В данном случае δ(-2.3) ≈ 0.03.

Определение. Значащими цифрами в десятичной записи числа называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Определение. Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Определение. Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Сформулируем правила округления:

1. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

2. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;

3. при округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).