Формирование уравнений по методу узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов применяется в задании для расчета напряжения холостого хода между двумя точками электрической схемы, где была выключена ветвь. Так, например, в цепи на рисунке 1.3 требуется рассчитать напряжение холостого хода U₃ при размыкании третьей ветви. Следует заметить, что электрическая схема содержит только 2 узла (1 и 2) и для нахождения напряжения между ними по методу узловых потенциалов необходимо составить только одно уравнение. Такой метод целесообразен в случае ручного расчета схемы. Знание напряжения U₂₁ позволит, исходя из обобщенного закона Ома, определить токи, а затем и искомое напряжение U.

Рисунок 1.3 Пример расчета по методу узловых потенциалов

В случае решения задания на ПЭВМ лучше составить такую систему уравнений по методу узловых потенциалов, которая позволит сразу найти напряжение U и использовать программу решения трех линейных уравнений. Для этого рассмотрим точки 3 и 4 цепи (рис. 1.2) как узлы и примем точку 4 за базисный узел, имеющий нулевой потенциал. Тогда число независимых уравнений будет равно трем. Система уравнений будет иметь вид:

.

Собственные проводимости каждого узла g_ii, кроме базисного, рассчитываются как сумма проводимостей всех ветвей, подходящих к i-му узлу, а взаимные проводимости g_ik между двумя узлами – как сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы i-й и k-й. В заключение определяются узловые токи короткого замыкания во всех узлах J_ki (кроме базисного) как алгебраическая сумма токов короткого замыкания всех ветвей, подходящих к i-му узлу. Например, для вышеприведенной схемы

.

Значение потенциала узла 3, полученное при решении системы уравнений, определит искомое напряжение U.

Определение тока одной ветви методом эквивалентного генератора

Для определения тока I₃ в ветви, соединяющей узлы 3 и 4 на рисунке 1.3 (положительные направления тока и ЭДС этой ветви приняты в направлении от 3 к 4), методом эквивалентного генератора необходимо рассчитать напряжение U при разрыве этой ветви и сопротивление R_г эквивалентного источника.

Внутреннее сопротивление R_г эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов 3 и 4 исходной схемы, из которой исключены все источники (источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены) при разомкнутой третьей ветви.

Сопротивление R_г схемы (рис. 1.3) между точками 3 и 4 легко рассчитать, если треугольник сопротивлений R6, R4, R5 преобразовать в эквивалентную звезду сопротивлений r1, r2, r3:

r1 = R6 R5 / (R4 + R5 + R6);

r2 = R4 R5 / (R4 + R5 + R6); r3 = R4 R6 / (R4 + R5 + R6),

после чего R_г может быть определено как сопротивление следующей схемы (рис. 1.4):

R_г = ((R1 + r1)·(R2 + r2) / (R1 + r1 + R2 + r2)) + r3.

Рисунок 1.4

Пример преобразования в эквивалентную «звезду» сопротивлений R4, R5, R6

Ток в искомой ветви, имеющей сопротивление R3, определяется по закону Ома:

I₃ = (U + E3)/(R_г + R3).