I. Теоретические основы визуализации функциональных зависимостей, как средство обучения учащихся 7-9 классов

При формировании фундаментальных математичес­ких понятий и их представлений, система обучения может быть пост­ роена таким образом, что внимание обучаемого постоянно акценти­руется на узловых моментах: математическое понятие функции, физический смысл функциональных зависимостей, классификация и способы их задания, исследование свойств элементарных функций с помощью графика и т. п.. Однако, задачи на функциональную зависимость по-прежнему ос­таются труднопонимаемыми для обучаемых, так как требуют от него определенных знаний и умений представлять в памяти ту или иную зависимость, образ которой абстрактен. Чтобы как-то помочь учащемуся правильно провести исследова­ние поведения математического объекта, необходима система спе­циального зрительного восприятия функциональных зависимостей, ко­торая могла бы наглядно интерпретировать - «оживлять» - любые ма­тематические структуры.

1.1 Научно-теоретический анализ понятий функция

Большинство математических понятий прошло длительный путь развития. При этом в них вкладывался все более глубокий смысл. Они получали разнообразные приложения. Сложный путь прошло и понятие "функция". С давнего времени оно находилось в поле зрения многих ученых и занимало центральное место всюду, где только встречается математическая мысль [10, 24,].

В настоящее время функциональная зависимость трак­туется как форма устойчивой взаимосвязи между объективными явле­ниями и отображающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенные количественные изменения других. Объективно, функциональная зависимость проявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью. Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих дан­ные величины, или явления. Функциональная связь может характеризо­вать связь: между свойствами и состояниями материальных объек­тов; между самими объектами или системами в рамках целостной сис­темы; между количественными законами; между абстрактными математи­ческими величинами, множествами и структурами наряду с явления­ ми, в которых причинная связь выражается через объективные функ­циональные отношения [34, с. 525].

В школьной математике функциональная зависимость использует­ся в узком смысле, как функция и определяется чаще всего через соответствие. Пусть имеется множество X и множество У. Соответ­ствие f:ХхУ, которое каждому элементу х ∈ X сопоставляется един­ственный элемент у ∈ У, называется функцией. Тройку (x, f, y) называют при этом отображением множества X в (или на) множество У и обоз­начают f:x→у. Обозначают функцию обычно буквами f, g, q и т.д.. Мно­жество X называют при этом областью определения функции, множество У называется множеством значений функции (или областью изме­нения). Элемент х из X называется переменной или аргументом; эле­мент y=f(x) из У называют значением функции элемента х или образом элемента х при отображении f. В зависимости от природы мно­жеств X и У получают различные типы функций [29 с. 301-302].

В основе определения функции лежит фундаментальный признак соответствия, отображения одного множества на другое. В широком понимании функциональность есть связь соответствия. Наличие закономерных связей между аргу­ментом и функцией и определяет специфику свойств функции. Понима­ние функциональности как соответствия объектов любого рода позво­ляет выяснить место этой категории в системе учения о закономер­ностях: функциональность как качественный аспект причинности: функ­циональность и причинность находятся в отношении логического пересечения (или включения); функциональная связь позволяет расчле­нить явление для понимания его природы [23 с. 106].

В функциональном уравнении, в его физическом контексте, не содержится утверждений о входящих величинах (как о причине и след­ствии). Но если мы свяжем величинами конкретное явление и создадим соответствующие условия, а потом экспериментально получим это яв­ление в действительности, то имеются все основания говорить, что причинность и функциональная связь находятся во внутренней динамической связи. Функциональная связь, в принципе, есть связь соответствия. Мно­гие ученые отмечают, что «функциональность» - понятие многогран­ное, которое может означать: специальный класс объективных отношений (отношений взаимосвязи, простого следования, синхронного изменения); математический научно-исследовательский инструмент, служащий для количественных выражений самых разнообразных отношений; определенный способ деятельности, присущий какому-либо объекту.

Обращаясь к особенностям формирования понятия функции в школьном курсе математики и связанных с ним понятий о функцио­нальных зависимостях, отметим, что понятие соответствия, отражающее интуитивное представление о соответствии между какого-либо рода объектами, как указывал Г.В. Дорофеев, было создано в математике с целью формирования понятия функции. Происхождение же термина «от­ношение» другое: «отношение» - это, прежде всего, отношение равенст­ва или неравенства между объектами, т. е. понятие «отношение» не имеет внутренней связи с понятием функции, ни как с правилом соот­ветствия, ни как с выражением, содержащим переменную. Но при форма­лизации интуитивных понятий «соответствие» и «отношение» оказа­лось, что они имеют одинаковые математические модели - и то, и дру­гое можно трактовать как множество пар ,значит, в принципе, они совпадают [15,16].

Поэтому, с начала 80-х годов в школьном курсе математики функ­ция стала определяться через соответствие, а не через отношение. Так С.А. Теляковский отмечал, что определение функции через бинар­ное отношение предполагает наличие у учащегося достаточно высо­кой культуры абстрактного мышления. Владение этим подходом к поня­тию функции не является обязательным даже для математиков-специа­листов по теории Функций [31 с.90-91].

Кроме того, с первых шагов «прикосновения» к понятию «функ­ция» школьник должен осознать, что уравнения, неравенства и их сис­темы находятся в общей структуре понятий, приемов и методов обуче­ния, что решение уравнений, неравенств и их систем целиком и полностью, прямо или косвенно, опирается на свойства элементарных функций. Следовательно, учителю необходимо постоянно подчеркивать особенность функциональной связи между объектами.

Тогда функциональная пропедевтика поможет сформировать у учащихся: представление об объекте и его роли; методы и приемы дея­тельности в процессе изучения темы. То есть, понятие функциональной зависимости будет использоваться с целью формирования деятельного компонента обучения. Психологические исследования убеждают, что учащиеся в возрасте 7-14 лет способны усвоить совершенно абстрактные понятия в форме конкретных операций, при этом сущ­ность вводимых понятий может быть раскрыта только в процессе спе­циального восприятия. В частности, определение понятия функции можно будет считать усвоенным учениками, если они умеют: узнавать и распознавать объекты, подходящие под определение понятия; приво­дить примеры объектов, охватываемых понятием; применять их при ре­шении задач. А это станет возможным потому, что в функции, как под­черкивал Хинчин А.Я., воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин.

Следовательно, сущность процесса усвоения учащимися понятия функциональной зависимости состоит в приобретении знаний и овла­дении умениями применять их при решении задач. К тому же практика показывает, что нельзя учить одному лишь определению функции, необ­ходимо формировать системное усвоение понятий всем программным материалом, включающим в себя и историческое, и философское, и прик­ладное содержание, чтобы показать логико-генетическую связь поня­тия функции и различных ее наглядных интерпретаций.

Поэтому, для правильного подведения учащегося под то или иное понятие функциональной зависимости необходимо учитывать в ком­плексе следующие факторы:

а) знание определений математических объектов;

б) применение различных способов задания математических объектов; в) понимание общей технологии работы с математическими объектами; г) знание классификации математических объектов:

д) умение исследовать математические объекты различными приемами и методами.

Известно, что психика ребенка - есть особое функциональное состояние мозга, и самая трудная задача математика - педагога сос­тоит как раз в том, чтобы раскрыть своеобразие этих психических процессов при компьютерном исследовании различных функциональных зависимостей на уроках алгебры. Этот психологический момент, бы­вает более полезен для учащихся, чем дополнительное решение мно­жества однотипных задач. Преподаватель должен иметь в виду, что функциональная пропе­девтика нацелена на формирование у учащихся представлений об из­меняемости, соответствии, закономерностях и зависимостях, на формирование приемов умственных действий. Однако, сложность по формированию данных приемов и развитию видов мышления при изучении ал­гебры учащимися объясняется рядом обстоятельств [38]. Для снятия некоторых трудностей у школьников при изучении алгебраического материала, прежде всего, необходимо: определить объем и содержание знаний по тому или иному вопросу; разработать гибкую систему дифференцированных упражнений, приемов и методов: подоб­рать или создать такое программное и методическое обеспечение для прохождения теоретического и задачного материала с использо­ванием ИКТ, которое бы оказывало существенное влияние на функцио­нальное мышление школьника.

Понятие «функциональное мышление» довольно часто можно встретить в высказываниях многих математиков и педагогов. В требо­ваниях международного движения преподавателей-реформистов, во гла­ве с Ф.Клейном, определение этого понятия встречается только у Р. А. Майера. В качестве характеристики функционального мышления он вы­деляет: представление математических объектов в движении, измене­нии; операционно-действенный подход к математическим фактам, опери­рование причинно-следственными связями; склонность к содержа­тельным интерпретациям математических фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики.

Как показывают исследования, функциональное мышление вклю­чает в себя элементы математического и интуитивного. Само же мыш­ление вообще характеризуется осознанием изменчивости, двойствен­ности, противоречивости, взаимосвязи, взаимозависимости. Это психоло­гический процесс поисков и открытий существенно-нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за ее пре­делы. Следовательно, функциональное мышление развивается при реше­нии таких задач, которые усложнены, то есть там, где одни элементы изменяются относительно других.

Ряд исследований лишь подтверждает предположение о существовании и необходимости развития у учащихся функционального мышления. Некоторые из них:

- формирование функционального мышления состоит в организации учителем специальных наблюдений за изменениями зависимости, ис­пользуя для этого с первого класса буквенные выражения, в пос­троении диаграмм как ординат функций, в решение задач по форму­лам и простейшим таблицам;

- работа по формированию функционального мышления должна вестись незаметно для учащегося, начиная с первых лет обучения, целенаправленно, планомерно и повседневно;

- учащийся должен функционально мыслить, вкладывая в понятие функ­ционального мышления смысл: знать и понимать идею главных функ­циональных зависимостей в пределах своих познаний.

Но наблюдения показывают, что ученики все же мало анализи­руют при работе с функцией, систематически не используют графичес­кий способ, распространено мнение о том, что сложность восприятия графиков в алгебре связана в значительной степени с отсутствием должной подготовки у учащихся к восприятию графического материала. Поэтому, у ученика можно развить умение проследить и установить характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой, если основу обучения функциональным зависимостям составит графический образ функции, который в свою очередь создаст предпосылки для раз­вития функционального мышления ученика.

Сказанное выше дает возможность сформулировать некоторые выводы:

1) историко-логический анализ развития функциональных зависимос­тей и взаимосвязи способов их задания позволяет считать функцию и ее графический образ - ядром, стержнем школьной математики, а функциональную линию - одной из ведущих линий всего школьного курса алгебры;

2) процесс изучения функциональных зависимостей в алгебре средней школы состоит не столько в том, чтобы за время учебы в школе уча­щийся смог научиться решать те или иные задачи или выучить опре­деления, теоремы, сколько в формировании у него функционального мышления, суть которого - уметь увидеть физическую закономерность, понять взаимосвязь между явлениями или объектами, определить су­щественные свойства (характер) подмеченных зависимостей;

3) создание мысленного образа функции и оперирование им, станет очевидно неотъемлемым и осознанным элементом обучения на уроках алгебры при изучении различных математических объектов, если уче­ник сможет самостоятельно выполнять над ними совершенно опреде­ленные действия;

4) сущность функциональных зависимостей, изучаемых в алгебре сред­ней школы, полно может быть раскрыта только лишь в процессе спе­циального восприятия, организованного на базе функционального под­хода с применением ИКТ и других технологий.