12 Определение скорости и ускорение точки при различных способах задания движения

Известно, что при движении точки по прямой линии с постоянной скоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденного расстояния s на время . При неравномерном движении эта формула не годится. И метод определения скорости зависит от способа задания движения.

1)     Скорость точки при векторном способе задания движения

  Пусть точка  за малое время t пе­решла из положения  в . При этом радиус-вектор её изменится на  (рис. 8.5). Так как время  мало, можно предположить, что часть траектории  почти прямая, равна хорде  и движение близко к равно­мерному. Тогда приближённо скорость

точки можно найти так:  (так как  – вектор, то и  – вектор).

 

Конечно, чем меньше время , тем ближе будет значение скорости к истинному. Поэтому

Итак, скорость точки есть производная от радиуса-вектора точки по времени

Направление вектора скорости  находим как предельное направление  при , то есть при приближении точки  к точке . Но такой процесс определяет касательную в точке . Следовательно, вектор скорости  направлен по касательной к траектории и в сторону движения. И наоборот, вектор скорости определяет направление движения точки в данный момент времени.

2. Скорость точки при координатном способе задания движения

Как уже установлено,  Учитывая (8.1), получим

                                              (8.2)

Вектор скорости как всякий вектор можно разложить на составляющие по осям

                                                                                          (8.3)

Сравнивая (8.2) и (8.3), устанавливаем, что проекции вектора скорости на оси есть первые производные от соответствующих координат по времени:

И модуль скорости

                                                           (8.4)

Направление вектора скорости можно определить графическим способом, откладывая в масштабе соответствующие составляющие вектора параллельно осям с учетом знака, или с помощью направляющих косинусов:           где   – углы между вектором   и направлениями осей  соответственно.

 

 

3. Скорость точки при естественном способе задания движения

Величину скорости (см. п.1) можно определить как предел  ( – длина хорды ):

где – длина дуги . Первый предел равен единице,  второй предел – производная 

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении (см. §1, п.1).