32.3. Довірчий інтервал для дисперсії та стандартного відхилення нормального розподілу

Нехай є вибірка з генеральної сукупності випадкової величини , розподіленої за нормальним законом з параметрами та . Поставимо задачу побудови довірчого інтервалу для параметра з наперед заданою довірчою ймовірністю . Як відомо, точковою оцінкою дисперсії є вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання відоме, й виправлена вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання випадкової величини – невідоме. За результатами лекції 23, у випадку відомого математичного сподівання, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності. Аналогічно, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності, якщо математичне сподівання невідоме.

Розглянемо випадок відомого математичного сподівання. При побудові довірчого інтервалу для дисперсії знайдемо . Крива розподілу величини має вигляд (рис. 32.1), тобто не симетрична відносно початку координат.

f(x)

0

x

Рис. 32.1.

Виберемо інтервал , в який попадає випадкова величина з імовірністю так, щоб імовірності виходу величини за границі інтервалу вправо та вліво (заштриховані площі на рис. 32.1) були однакові й дорівнювали , :

та .

Для знаходження чисел та використаємо таблицю значень розподілу хі-квадрат, взяв ступенів вільності. Нерівності та еквівалентні нерівностям та . Отже, шуканий довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини у випадку відомого математичного сподівання має вигляд

. (32.3)

Якщо математичне сподівання невідоме, то величини та знаходимо також із таблиці розподілу хі-квадрат по значенням та , взявши ступінь вільності. Довірчий інтервал при цьому набуває вигляд

. (32.4)

Приклад 32.3. Дана вибірка вимірювання дальності до об’єкту в км: 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Вважаючи, що вимірювання дальності є нормально розподіленою випадковою величиною , знайти довірчий інтервал для дисперсії цієї величини з надійністю = 0,8.

Розв’язання. У якості незміщеної оцінки математичного сподівання беремо вибіркове середнє

.

Незміщеною оцінкою дисперсії в цьому випадку буде виправлена дисперсія

.

Оскільки за умовою задачі = 0,8, то

і .

Кількість ступенів вільності дорівнює . За таблицею значень розподілу хі-квадрат знаходимо та .

Отже, за формулою (32.4), границі довірчого інтервалу дорівнюють

та .

Таким чином, шуканий довірчий інтервал для дисперсії такий:

.

32.4. Довірчий інтервал для ймовірності появи події при великому обсязі вибірки

За точкову оцінку ймовірності появи події в схемі Бернуллі беруть частість , де – загальна кількість незалежних випробувань, – кількість появ події в цих випробуваннях. Задамо довірчу ймовірність і знайдемо такі величини та , щоб виконувалось співвідношення

.

Інтервал буде шуканим довірчим інтервалом, який відповідає надійності .

Розглянемо випадок, коли кількість випробувань у схемі Бернуллі достатньо велике, наприклад, . Крім того, виконуються умови та . При виконанні всіх умов розподіл випадкової величини в силу граничної теореми Муавра-Лапласа близький до нормального розподілу , а випадкова величина має наближено нормальний розподіл . Таким чином, статистика

має наближено стандартний нормальний розподіл .

Користуючись таблицею значень функції Лапласа, для заданої довірчої ймовірності знайдемо таке число , при якому

. (32.5)

Розв’яжемо нерівність, що стоїть у дужках виразу (32.5).

Для цього піднесемо її до квадрату, в результаті отримаємо

;

піднесемо до квадрату та перенесемо всі члени нерівності вліво, будемо мати

. (32.6)

Розв’язуючи останню квадратну нерівність, маємо , де

. (32.7)

Цей результат має геометричну інтерпретацію. Розглянемо Декартові систему координат, по осі абсцис якої відкладаємо частість , а по осі ординат – імовірність . Точки з координатами , які задовольняють нерівності (32.6), знаходяться всередині еліпса (рис. 32.2).

Рис. 32.2.

Для того, щоб побудувати інтервальну оцінку ймовірності при відомій частості , треба розглянути множину точок всередині еліпса з абсцисою, що дорівнює . Цей інтервал і буде шуканим довірчим інтервалом .

Якщо обсяг вибірки значно більше 100, то величиною у виразі (32.7) можна знехтувати. Тоді границі довірчого інтервалу набувають наближених виразів

.

Приклад 33.1. Подія в серії з незалежних випробуваннях відбулася разів. Побудувати довірчий інтервал для ймовірності появи події з надійністю .

Розв’язання. За умовою задачі маємо таку точкову оцінку ймовірності

.

Оскільки , то границі довірчого інтервалу знайдемо за формулами (32.7), при цьому по , за таблицею значень функції Лапласа, знайдемо .

Отже,

.

Відповідно

.

Отже, з надійністю 0,9 інтервал накриє ймовірність появи події .