3. Примеры применения различных функций в жизни, технике, природе

В наши дни без функций невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, и бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологичных процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы, которые описывает функция.

А) Линейная функция

Ф ункция y = a x + b называется линейной потому, что ее график есть прямая линия. Характеристическим свойством линейной функции является изменение функции пропорционально изменению аргумента. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости. Например, при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = v t, т.е. s – линейная функция t.

Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температураТ (по Кельвину) связана с температурой tͦC на шкале Цельсия формулой t = T + 273 ͦ. Другой пример – напряжение в электрической цепи прямо пропорционально силе тока U = IR. Можно много приводить примеров линейных зависимостей в физике, химии. Рассмотрим задачу на линейное расширение тел.

Задача.При температуре 0^оС рельс имеет длину l₀= 12,5 м. при возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^о) = l₀(1 + t^о),где = 1,2 ˖ 10^–5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t^о – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

Решение. Выразим из заданной формулы t: .

Заметим, ,

тогда

Ответ: 40.

Б) Квадратичная функция

Графиком квадратичной функции является парабола.

Х орошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторией камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.

П арабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения.

Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов – рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.