Решение.

Воспользуемся подходящей формулой . Из уравнения или по таблице находим = 1,96. Точность равна . Следовательно, доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при известном имеет вид или . Этот интервал с вероятностью 0,95 покрывает математическое ожидание.

§ 4 Проверка статистических гипотез

Опр. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Опр. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Опр. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

При статистической проверке гипотезы можно допустить следующие ошибки:

1. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза (казнь невиновного).

2. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза (оправдание преступника).

Замечания: 1. Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают . Обычно его принимают равным 0,05 или 0,01. Если принят уровень значимости , то это значит, что примерно в одном случае из ста можно допустить ошибку первого рода.

2. Вероятность допустить ошибку второго рода обозначают , а число называют мощностью критерия. Из определения ошибок следует, что для уменьшения возможности допустить ошибки первого и второго рода эксперимент следует проводить с большей выборкой.

Опр. Статистическим критерием называют случайную величину , по значениям которой судят о справедливости нулевой гипотезы.

Опр. Наблюдаемым значением называют значение статистического критерия, вычисленное по выборочным данным.

После выбора некоторого критерия проверки статистической гипотезы множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества. Если наблюдаемое значение критерия попадает в первое подмножество (область принятия гипотезы), то основная гипотеза принимается. Если во второе подмножество (критическая область), то основная гипотеза отвергается. Точки, разделяющие эти подмножества, называют критическими.

Для проверки статистической гипотезы выполняют следующие шаги:

1. Ранжируют данные.

2. Строят статистический ряд.

3. Вычисляют теоретические вероятности попадания в каждый интервал группирования по формуле: , где − плотность распределения вероятности и − длина интервала группирования количественного признака .

4. Вычисляют теоретические частоты по формуле: (округляя до целого).

5. Задают уровень значимости .

6. Определяют критическую точку (правосторонняя критическая область), исходя из условия , и количества степеней свободы , где − количество интервалов группирования признака, − количество параметров рассматриваемого распределения; например, для нормального распределения , т.к. оно определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением.

7. Вычисляют по выборке наблюдаемое значение критерия.

8. Если наблюдаемое значение больше критического, то гипотезу отвергают; в противном случае, нет оснований отвергнуть гипотезу (отвергают гипотезу более категорично, чем принимают).

В качестве критерия проверки статистических гипотез будем рассматривать критерий Пирсона (хи-квадрат), который наиболее широко применяется для этой цели.

Для определения критических точек распределения при различных уровнях значимости и степенях свободы составлены специальные таблицы.

Опр. Наблюдаемым значением критерия Пирсона называется величина . Пример. Для нашей выборки проверить гипотезу при уровне значимости , если предположить, что количественный признак генеральной совокупности распределен нормально.