Оптимальність
Дослідження конфліктів, а у відповідності до цього – ігор можна проводити з різних точок зору:
дескриптивної, яка полягає у визначенні того, які ситуації фактично складаються (або можуть складатися) в тих чи інших конфліктах;
нормативної, що визначає, яку поведінку гравців слід вважати оптимальною (розумною, адекватною);
конструктивної, яка вказує, як здійснювати потрібні (наприклад, оптимальні) стратегії або ситуації;
прогностичної, що займається передбаченням фактичного результату конфлікту.
Теорія ігор як математична дисципліна в її сучасному стані займається нормативним вивченням ігор.
Основними задачами теорії ігор можна вважати наступні:
синтез принципів оптимальності;
встановлення можливостей реалізації принципів оптимальності (тобто встановлення факту існування оптимальних у цьому сенсі ситуацій);
знаходження їх реалізацій.
Основними змістовними рисами конфлікту стосовно результатів або множини результатів конфлікту можна рахувати інтуїтивні уявлення про вигідність, стійкість та справедливість.
У найпростішому випадку, коли у грі бере участь лише єдиний гравець, вигідність можна розуміти єдиним чином, а саме як максимізація значень функції виграшу на всій множині стратегій-ситуацій. Такі задачі є тривіальними, тому не будемо детально їх обговорювати.
Будь-яка
можлива для гравця
дія — це його
стратегія;
множину всіх стратегій гравця і
позначимо через xi.
В умовах конфлікту кожний гравець і
обирає свою
деяку стратегію
з множини xi,
в результаті чого складається набір
стратегій
,
який називається ситуацією.
Множина всіх ситуацій є, очевидно,
декартовим добутком
і
позначається через X.
Зацікавленість
гравців у ситуаціях виявляється в тому,
що кожному гравцю
в кожній ситуації
приписується число, що виражає ступінь
задоволення його інтересів у цій
ситуації. Це число називатимемо виграшем
гравця і
в ситуації х
і позначатимемо через
.
Відображення
називається функцією
виграшу (функцією корисності) гравця
і. В цих умовах перебіг
конфлікту полягає у виборі кожним
гравцем
його стратегії
та в отриманні ним у новій ситуації
виграшу
з деякого джерела.
Таким
чином, будь-який конфлікт представляється
у вигляді системи
.
Така система називається безкоаліційною
грою або просто
грою.
Серед
усіх безкоаліційних ігор виділяється
клас антагоністичних ігор, в яких число
гравців дорівнює двом, а значення їх
функцій виграшу в кожній ситуації рівні
за величиною і протилежні за знаком:
.
Для
скорочення вживання індексів, множини
стратегій гравців 1 і 2 в антагоністичній
грі звичайно позначаються через x
та y,
функція виграшу
через Н,
а сама гра записується у вигляді
.
Нехай гра нетривіальна, тобто в ній бере участь декілька гравців. В цьому випадку змістовні уявлення про вигідність і стійкість, не кажучи вже про справедливість, можуть бути формалізовані по-різному.
Можна, наприклад, оптимальною ситуацією вважати таку, при якій одночасно досягають своїх максимумів функції виграшу кожного з гравців.
Умову оптимальності в цьому сенсі для ситуації x* у грі Г формально можна записати як
.
Вигідність такої ситуації очевидна. Така само, як і її стійкість: будь-яке відхилення від неї гравців або групи гравців може призвести хіба що до зменшення виграшів усіх учасників гри (в тому числі – тих, що відхилилися). Справедливість цієї ситуації випливає з симетричності входження всіх гравців у вищенаведену умову.