1. Прямоугольная пластина постоянной толщины

I.I.Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Точное решение задачи об определении собственных частот и форм колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две противолежащие стороны пластины имеют шарнирное опирание. При этом закрепление двух других сторон может быть произвольным.

Пусть у прямоугольной пластины размерами (  - размер вдоль оси  ;   - вдоль оси  ) шарнирно оперты края   и  .

Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде

Подставляя это выражение в уравнения движения, устанавливаем, что функция   должна удовлетворять одному из двух уравнений:

где 

или

где 

Решениями этих уравнений являются выражения

    Следовательно, общее выражение для   принимает вид

Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при   Если эти края пластины также шарнирно оперты, то должно быть

Из условий при   находим

Условия при   приводят к уравнениям

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим частотное уравнение

которое выполняется при 

Так как  , то 

Тогда собственные частоты пластинки, шарнирно опертой по контуру, определяются формулой

               

где 

Низшая частота   соответствует   т.е. колебаниям пластинки без узловых линий:

Форма колебаний определяется выражением

                                         

Аналогичным образом проводится расчет и при других условиях закрепления границ 

 

I.II. Асимптотический метод расчета пластин

Для прямоугольной пластины с закреплением, отличным от шарнирного опирания, по противолежащим сторонам, применяют различные приближенные методы. Рассмотрим асимптотический метод.

В пластинках, так же как и в балках, имеет место динамический краевой эффект, который заключается в том, что закрепление влияет на форму колебания только вблизи границы, а вдали от нее форма колебания определяется произведением синусов. Благодаря этому колебания можно представить как сумму функции гармоник и быстро затухающих с удалением от границ функций, которые позволяют выполнить граничные условия.

Рассмотрим применение этого метода на примере заделанной по контуру прямоугольной пластины размерами  , у которой, как и ранее, размер а соответствует оси x. Ограничимся расчетом симметричных относительно осей   форм колебаний. В средней части пластины (начало координат располагается в центре тяжести пластины) принимаем

 

Вблизи границ  :

где   - быстро изменяющаяся функция, позволяющая удовлетворить условиям закрепления.

Аналогично вблизи границ  :

Таким образом, общее выражение для   имеет вид

          

В средней части пластинки функции   и   пренебрежимо малы и поэтому первый член выражения должен удовлетворять уравнению колебаний. Отсюда находим

Вблизи границ   существенными являются первый и второй члены выражения. Учитывая, что первый член удовлетворяет уравнению, потребуем, чтобы и второй удовлетворял ему:

Выполняя дифференцирование, приходим к уравнению:

которое распадается на два уравнения:

Так как  , то затухающие решения имеет только первое из этих уравнений. Решение, затухающее с удалением от стороны  , имеет вид

где 

В силу симметрии вблизи стороны  :

Аналогично вблизи стороны  :

где 

и вблизи стороны  :

Рассмотрим граничные условия при  :

При вычислении   и   учтем, что практически вдоль всей стороны  , за исключением окрестностей угловых точек, функция   равна нулю, поэтому   определяется первыми двумя слагаемыми выражения:

Для одновременного выполнения этих уравнений необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при   и  , равнялся нулю, что приводит к уравнению:

                             

Аналогично условия при   приводят к уравнению:

                            

Так как   связаны с  , то определяем значения   и  , а затем вычисляем   и частоты:

Рассмотрим, например, колебания квадратной пластинки с одинаковым числом узловых линий в направлениях  . В этом случае     и уравнения приводят к зависимости:

,

откуда

Частоты колебаний определяются формулой:

 

Достаточно хороший результат получается уже для низшей частоты:

Точное значение:

Как видно из вышеизложенного, при использовании асимптотического метода погрешность возникает вследствие приближенного выполнения граничных условий вблизи угловых точек.