I.I. Методичні вказівки до виконання завдання 1.1

Булевими називаються двійкові (логічні) функції y= F_ij(x₁,x₂,x₃,x₄) від двійкових змінних (аргументів) x₁,x₂,x₃,x₄, що приймають, тільки два значення 0 і 1 . ЛФ може бути задана таблицею істинності або аналітично. При табличному завданні ЛФ указуються всі можливі значення (набори) вхідних змінних і відповідні ним значення функції (див. табл. 1.2-1.4). При аналітичному завданні ЛФ визначається через елементарні (базові) функції одної і двох змінних. Елементарними ЛФ однієї змінної являються: константа 0 і 1, функції «повторення» у=x і "інверсія" або "логічне заперечення" y= .

Базовими булевими функціями (операціями) двох змінних являються y= F_ij(x₁,x₂):

- кон'юнкція (логічне множення або функцією І) y=x1 & x2;

- диз'юнкція (логічне складання, АБО) y=x₁ v x₂;

- штрих Шеффера y=x₁ / x₂ (І-НЕ);

- стрілка Пірса y=x1↓ x2 (АБО-НЕ).

Таблиця 1.1

Передостання цифра номера i	Перша частина наборів ЛФ Ni	Остання цифра номера j	Друга частина наборів ЛФ Nj
0	2,4,6	0	13,14,15
1	0,1,3,5,7	1	11,12,13
2	2,4,6,7	2	10,12,14
3	0,1,2,3,4	3	9,10,11
4	4,5,6,7	4	8,9,10
5	5,6,7	5	12,13,14
6	0,2,5,7	6	8,10,12,14
7	0,2,4,6	7	9,11,13,15
8	2,3,4,5	8	8,9,10,11
9	1,2,3,5	9	9,11,13

Строге визначення перерахованих ЛФ за допомогою таблиць істинності дане в табл. 1.2, де приведені також умовні позначення для логічних елементів (ЛЕ), що виконують вказані операції.

Таблиця 1.2

Приклад складання таблиці істинності (табл.1.3).

Таблиця 1.3

Застосування булевої алгебри для математичного дослідження (аналізу і синтезу) пристроїв дискретної автоматики ґрунтується на системі аксіом, теорем, що виражають основні закони алгебри логіки. Їх ще називають тотожностями, або рівносильностями. Найбільш важливі з них приведені в табл. 1.4. Всяка не надмірна сукупність базових операцій над вхідними двійковими змінними х₁..х_n дозволяє виразити через ці операції будь-яку ЛФ. Така функціонально повна сукупність булевих операцій називається базисом.

Базис утворюють операції:

- І-АБО-НІ,

- І, НІ,

- АБО, НІ,

- І-НІ,

- АБО-НІ.

Через більшу технологічність елементів Шеффера і Пірсу найширше в мікросхемотехніці застосовуються базиси І-НІ і АБО-НІ.

Таблиця 1.4

№ п.п	Назва тотожностей	Тотожність
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Елементарні вирази	Х+0=Х Х+1=1 Х+Х=Х Х+ =1 Х*0=0 Х*1=Х Х*Х=Х Х* =0 =Х
10	Комутативний закон	а) X+Y=Y+X б) X*Y=Y*X
11	Асоціативний закон	а) X+Y+Z=X+(Y+Z) б) X*Y*Z=X*(Y*Z)
12	Дистрибутивний закон	а) X*(Y+Z)=X*Y+X*Z б) X+Y*Z=(X+Y)*(X+Z)
13	Закон поглинання	а) X+X*Y=X б) X*(X+Y)=X
14	Закон поглинання	а) (X+ )*Y=X*Y б) (X+Y)*(X+ )=X
15	Закон склеювання	а) X*Y+X* =X б) (X+Y)*(X+ )=X
16	Закон інверсії (закон де Моргана)	а) = б)

Синтез комбінаційного пристрою (КП), що реалізовує задану ЛФ, здійснюється в три етапи:

I) проводиться перехід від табличного завдання ЛФ до аналітичного у вигляді досконалої ДНФ;

II) мінімізація отриманої ДНФ

III) реалізація мінімальною МДНФ в заданому базисі.

Методику синтезу пояснимо на прикладі розробки схеми для ЛФ трьох змінних заданої табл. 1.5 і що має одиничні набори з номерами 0,1,3,5 і 7.

Для такої ЛФ ДНФ має вигляд:

(1.1)

Таблиця 1.5 - Таблиця інтенсивності для булевої функції трьох змінних.

№				y=f( , , )
0	0	0	0	1
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Кожен член ДНФ відповідає одному з одиничних наборів табл. 1.5 і повинен на цьому наборі звертатися в I, що досягається розстановкою інверсій над визначеними вхідними змінними, що приймають у даному наборі нульові значення.

Мінімізація ДНФ дозволяє отримати вираз, що містить менше число членів і менше число аргументів в членах. Найбільш відомими є два методи мінімізації – метод Квайна і Вейча-Карно.

Метод Квайна заснований на застосуванні тотожності булевої алгебри до різних пар ДНФ з виділенням в них загальних частин і послідовним виконанням операцій склеювання і поглинання, після чого до отриманої скороченої форми для знаходження МДНФ застосовується так звана імплікантная матриця.

Наприклад, у виразі (I.I), згідно методу Квайна, слід виділяти всі можливі пари членів ДНФ, що відрізняються значеннями тільки якого-небудь одного аргументу (1-2, 2-3, 2-4, 3-5, 4-5), і застосувати до них сполучний закон і операцію склеювання; це дозволяє замінити склеєні члени в ДНФ, простішими виразами, а саме, для пар:

1-2:

2-3:

2-4:

3-5:

4-5:

В результаті (I.I) приймає вигляд:

(1.2)

Застосувавши повторно той же прийом у виразі (1.2) до пар 2-5 і 3-4, отримаємо ще простіший вираз для ДНФ:

(1.3)

Форма (1.3) подальшому спрощенню за допомогою імплікативної матриці не піддається і є мінімальною. Співвідношення (1.3) зручне для схемної реалізації на ЛЕ І, АБО, НІ (рис. 1.1,а).

Рис.1.1 Схемна реалізація логічної функції

Закони інверсії і подвійного заперечення дозволяють привести (1.3) до вигляду, зручного для схемної реалізації ЛФ в базисах І-HІ і АБО-НІ (мал.1.1,б, 1.1в). При розробці схем важливо пам'ятати, що операція НІ виконується елементом Шеффера або Пірса при об'єднанні його входів.

- базис Шефера

- базис Пирса

Другий регулярний метод мінімізації ЛФ запропонований Вейчем і Карно і дозволяє за допомогою спеціальних діаграм значно спростити процедуру пошуку членів СДНФ і отримання МДНФ, що склеюються, для ЛФ з числом аргументів n <5.

Карта Вейча-Карно є прямокутною матрицею, що містить 2n кліток, і є спеціальною формою таблиці істинності. Кожна клітка карти за певним правилом (рис, 1.2, - 1.3) закріплюється за своїм строго певним набором ЛФ.

y=

Рис.1.2 Карти Вейча –Карно для n=3

Таке правило гарантує попадання наборів, що відрізняються тільки одним аргументом, в сусідні клітки карти. Для зручності орієнтування по краях таблиці вказуються значення аргументів.

y=

Рис. 1.3. Карти Вейча-Карно для n= 4

При заповненні карти Вейча-Карно в її клітки, згідно таблиці істинності даної ЛФ, заносяться 0 або 1. З метою мінімізациії ДНФ прямокутні одиничні зони на карті об'єднуються контурами, які можуть містити 2,4...,2^к (к<n) наборів, що відповідають членам ДНФ, що склеюються.

Оскільки карти Вейча-Карно дозволено згортати по горизонталі і вертикалі, то в контури можна включати набори, що знаходяться в крайніх рядах і в кутах карти (див. мал. 1.3). Кожен прямокутний контур включає 2^к одиниць (к=0,1,2..n-1), дає в аналітичний вираз для мінімальної ДНФ внесок у вигляді одного члена, що представляє логічний добуток тільки тих (n-к) аргументів x_i (з інверсією або без неї), які при обході контура не змінюють своїх значень (див.мал.1. 1.3). Тому для отримання МДНФ слід прагнути до того, щоб кожна "одиниця" карти по можливості була включена в який-небудь контур ( до >1 ), і організовувати на карті ЛФ мінімально можливе число контурів дозволеної конфігурації з максимально можливим числом одиничних кліток в кожному. При цьому для збільшення розмірів контура дозволяється включати в різні контура одні і ті ж одиничні клітки.

На мал. 1.2 зображена карта Вейча-Карно для ЛФ заданою табл. 1.4 або ДНФ(1.1) а на мал. 1.3 - карта Вейча-Карно і МДНФ для ЛФ що приймає одиничні значення на наборах 0,2,4,6,7,8,11,12,14,15 і описуваною СДНФ вигляду:

Для схемної реалізації мінімальної ДНФ можна вибрати ІМС з необхідним числом входів у ЛЕ з табл. 1.5. Запис 2Х4 І-НІ означає, що в одному корпусі ІМС знаходиться два чотиривхідних ЛЕ типу І-НІ. Неоптимальний вибір числа входів у ЛЕ спричиняє за собою збільшення енергоспоживання і/або тимчасових затримок. На мал. 1.4 показано, яким чином можна виконувати логічні операції на ІМС у разі невдалого вибору числа входів ЛЕ.

Затримка сигналу при проходженні через одиночний ЛЕ залежить від типу логіки і складає для елементів типу ЕСЛ 1...10 нс, ТТЛ - 10...30 нс, КМОП - 200...300 нс.

Сумарний час затримки всієї схеми t = m залежить від числа m ЛЕ, включених між виходом і найбільш "віддаленим" від нього входом.

Наприклад, для кожної схеми мал. I.І m = 3.

Мал. 1.4. Схеми для виконання логічні операції при неоптимальному виборі числа входів

Таблиця 1.5 Рекомендований перелік мікросхем

Умовне позначення ІМС	Функціональне призначення ІМС	Склад	Тип логіки	Тзап, нс	Uпит, В	Iпотр, мА	Рпотр, МВт	Fперекл, МГц
К155ЛА1	4 І-НІ	2	ТТЛ	10	5		0,5
К155ЛА3	2 І-НІ	4	ТТЛ	10	5
К155ЛА4	3 І-НІ	3	ТТЛ	10	5
К155ЛЕ1	2 АБО-НІ	4	ТТЛ	10	5
К137ЛЕ3	3 АБО-НІ	2	ЕСЛ	2	12		10	100
К223ЛЕ1	3 АБО-НІ	4	ЕСЛ	1,5	12			100
К176ЛЕ10	3 АБО-НІ	3	КМОП	50	9		0,001
К176ЛЕ6	4 АБО-НІ	2	КМОП	50	9
К176ЛЕ5	2 АБО-НІ	4	КМОП	50	9
К176ЛА7	2 І-НІ	4	КМОП	50	9
К176ЛА8	4 І-НІ	2	КМОП	50	9
К176ЛА9	3*3 І-НІ		КМОП

Завдання I.І доцільно виконувати в наступному порядку:

у відповідності з номером Вашого студентського квитка але номерам Ni і Nj одиничних наборів скласти таблицю істинності для ЛФ Вашого варіанту;

- записати вираз для СДНФ і нанести ЛФ на карту Вейча-Карно;

- знайти мінімальну ДНФ і перевести її в заданий базис;

- вибрати відповідну ІМС (табл. 1.5 або довідник), розробити на її основі і виконати графічне моделювання схеми необхідного комбінаційного пристрою в МС8;

- провести аналіз перехідних процесів і по отриманих графіках визначити час затримки, для синтезованої схеми;

- для розробленої схеми розробити друкарську плату в РСAD 2004;

- розробити БД ІМС у яку додати дані про тип логіки, назву ІМС, електричні характеристики, умовно - графічні позначення;

- розробити додаток у Delphi7 для визначити і порівняти собівартість синтезованих ЦУ.

Завдання 1.2

Синтезувати цифровий пристрій (ЦП) що виконує функції пристрою управління (ПУ) ЕОМ (з"жорсткою"логікою) і що має один вхід і 16 виходів. ПУ по сигналу з дешифратора (ДШ) команд повинно видавати на свої виходи серію імпульсних сигналів, що управляють, з різними тимчасовими затримками, чим і забезпечується управління мікропроцесором в ході виконання чергової команди програми.

ЦП виконує наступний алгоритм функціонування: через j тактових інтервалів видати імпульс на вихід з номером i, через i тактів - на вихід з номером j, а через (i+j+9) тактів - на виходи про номерами ( j+4) і ( i+6), після чого повернутися в початковий стан. Значення i та j - передостання і остання, цифри в номері Вашого студентського квитка.