Экспериментальные данные по электронной теплоемкости металлов

При температуре ниже температуры Дебая и тем более при температурах ниже температуры Ферми теплоемкость металлов можно записать в виде суммы двух слагаемых:

,

где - постоянные характерные для данного материала. Электронная компонента ~ и поэтому доминирует при низких температурах. Экспериментальные значения теплоемкости удобнее интерпретировать, строя график зависимости от :

, (2.39)

так как экспериментальные точки ложатся на прямую. На рис. приведена экспериментальная кривая для калия.

Модель свободных электронов является первой удачной попыткой объяснения электрических и магнитных свойств твердых тел. Рассмотрим некоторые из этих свойств.

Электропроводность и закон Ома

На электрон в электрическом поле и магнитном поле действует сила , равная , поэтому уравнение движения электрона имеет вид

. (2.40)

В отсутствие столкновений внешнее электрическое поле однородно смещает все точки сферы Ферми в к-пространстве (рис. ). Под действием постоянной силы , действующей в течение промежутка времени , каждый электрон с волновым вектором получает приращение . Это эквивалентно смещению сферы Ферми, как целого, на расстояние . Теперь полный импульс равен (до включения поля суммарный импульс электронов был равен нулю). Включение постоянного внешнего поля увеличивает энергию системы на величину .

Интегрируя (2.40) при = 0, получим:

. (2.41)

Если поле включено в момент времени , то электроны, заполнявшие сферу Ферми так, что ее центр находился в начале координат к-пространства, спустя время окажутся в других точках к-пространства; центр сферы окажется смещенным из начала координат на расстояние , причем

. (2.42)

Вследствие столкновений электронов с примесями, дефектами решетки или фононами сфера Ферми может стационарно сохранить свое смещенное положение при заданном электрическом поле. Распределение не меняется – сфера остается сферой. Если среднее время между столкновениями равно , то стационарное в данном поле смещение сферы Ферми равно: .

Для приращения скорости имеем:

. (2.43)

Если в единице объема мы имеем электронов, каждый с зарядом , то в постоянном электрическом поле плотность тока, вызванного полем , равна

. (2.44)

Это выражение имеет форму закона Ома: ; следовательно, из (2.44) имеем для :

. (2.45)

Удельное сопротивление есть величина, обратная электропроводности, т.е.

. (2.46)

Электропроводность можно интерпретировать так. Смещенный заряд ~ плотности заряда ; множитель появляется потому, что ускорение заряда в данном поле ~ заряду электрона и обратно пропорционально массе, а потому характеризует время, в течение которого поле действует на свободный носитель. Каждое последующее столкновение полностью «стирает» у электрона память о предыдущих, формируя среднюю дрейфовую скорость. Можно изготовить столь чистый кристалл меди, что его проводимость при температуре жидкого гелия будет почти раз больше, чем при комнатной температуре. В последнем случае время релаксации с. Можно также ввести среднюю длину свободного пробега электронов проводимости, определив ее соотношением

, (2.47)

где - скорость электронов на поверхности Ферми.

Отметим, что столкновения претерпевают лишь те электроны, которые в к-пространстве лежат вблизи поверхности Ферми. Так как для меди , то (300 К) ; (4 К) . При температуре жидкого гелия у ряда очень чистых металлов наблюдалась средняя длина свободного пробега ~ 10 см.