2.3.2. Напряжения и деформации в массиве вокруг незакрепленных выработок

Рассмотрим протяженную выработку круглой формы сечения, расположенную на достаточно большой глубине (рис.2.9).

Существенная особенность напряженно-деформированного состояния массива пород, в котором проходят горную выработку, заключается в том, что выработка образуется в заранее напряженном массиве с установившимся полем начальных напряжений. По этой причине нельзя моделировать массив с выработкой, попросту перенося начальные напряжения на бесконечность, так как тогда оказалось бы, что напряжения приложены к массиву после проведения выработки.

Применение упругой модели массива позволяет в соответствии с принципом независимости действия сил учесть это важное обстоятельство, рассматривая напряжения в массиве, ослабленном выработкой (рис.2.10, а), как сумму начальных (рис.2.10, б) и дополнительных (снимаемых) (рис.2.10, в) напряжений.

Это значит, что с контура будущего отверстия (рис.2.10, б) необходимо снять имеющиеся на нем радиальные и касательные начальные напряжения, так как контур отверстия свободен от напряжений. В упругой модели эту операцию можно осуществить, прибавив к начальному полю напряжений снимаемое поле напряжений, вызванное действием только снимаемых напряжений, приложенных к контуру отверстия в невесомой плоскости (рис.2.10, в). Очевидно, что снимаемые напряжения равны по величине начальным и противоположны по знаку.

Понятие снимаемые напряжения ввел проф. И.В.Родин: Начальному полю напряжений в массиве соответствует начальное поле деформаций и перемещений, которые произошли до проведения выработки. Следовательно, деформации и перемещения в массиве, происходящие вследствие образования выработки, вызываются только снимаемыми напряжениями.

Для определения напряжений вокруг выработки используется решение плоской задачи теории упругости о полубесконечном весомом массиве (область S), ограниченном земной поверхностью L и ослабленном выработкой (контур L₁ на рис.2.9).

Искомые компоненты полных напряжений в области S могут быть представлены, как было указано выше, в виде суммы двух слагаемых

где – начальные напряжения, действовавшие в ненарушенном массиве до образования выработки; – дополнительные (снимаемые) напряжения, вызванные образованием выработки.

При заложении выработки на глубине  влияние поверхности земли можно не учитывать и принять схему невесомой плоскости с отверстием (выработкой). Напряжения и приложены на границе невесомой плоскости.

Компоненты напряжений в массиве вокруг незакрепленной выработки, представленные в радиальной системе координат, могут быть определены по формулам:

(2.11)

где  – средний удельный вес пород в массиве над выработкой;  – коэффициент бокового распора в нетронутом массиве; r,  – соответственно радиальная и угловая координата.

Правильность решения устанавливается путем проверки граничных условий. В данном случае контур сечения выработки должен быть свободен от напряжений _r и _r. Подставляем в выражения (2.11) значения r = r₀, после очевидных преобразований получаем _r = 0, _r = 0. Следовательно, выражения (2.26) являются решением поставленной задачи.

Нормальные тангенциальные напряжения на контуре сечения выработки при r = r₀

При  = 0 и  =  (точка А, рис.2.11) напряжения

Следовательно, при   1/3 на контуре в точке возникают растягивающие напряжения.

При  = /2 и  = 3/2 (точка B, рис.2.11) напряжения

При  = 0 тангенциальное напряжение _ достигает наибольшего значения, а максимальный коэффициент концентрации K_ = _/(H) = 3.

При  = 1 в гидростатическом поле распределение напряжений вокруг выработки будет следующим:

В этом случае распределение напряжений обладает полярной симметрией, напряжения зависят только от радиуса r и не зависят от угла . На контуре сечения выработки (r = r₀) нормальные тангенциальные напряжения постоянны и составляют

Размеры зоны влияния выработки в массиве можно определить из формулы (2.12), приняв допущение, что на границе этой зоны тангенциальная составляющая напряжений _ будет превышать фоновые напряжения H на 5 %. Тогда

откуда r ≈ 5r₀.

Напряжения в массиве вокруг вертикального ствола круглого сечения в цилиндрической системе координат (рис.2.12) описываются выражениями:

Напряжения в важных точ­ках удобно характеризовать безразмерными величинами отношений этих напряжений к начальным напряжениям в рассматриваемых точках. Такие величины называются коэффициентами концентрации напряжений.

С удалением от выработки напряжения стремятся к своим начальным значениям, существовавшим в массиве до ее проведения. Следовательно, проходка выработки вызывает перераспределение напряжений в массиве в некоторой ограниченной области, называемой зоной влияния выработки.