Частина 1. Теоретичні основи економетрії тема 1.1. Математичне моделювання

1.1.1. Поняття про економічну систему, модель, математичне моделювання і управління системою

Під економічною системою будемо розуміти організовану сукупність взаємозв’язаних неоднорідних елементів, склад, підлеглість і властивості яких визначаються суспільною природою виробництва.

Економічна система (ЕС) характеризується структурою, функцією, відношенням цілісності і комунікактивністю.

Структуру системи будемо розуміти як склад елементів та спосіб їх об’єднання в систему. Взаємозв’язки між елементами системи є відносно сталими.

Функцією ЕС є здатність до здійснення дій, скерованих на досягнення поставленої мети.

Відношення цілісності - це властивість системи набувати таких якостей, які складовим елементам системи не притаманні.

Комунікативність означає поєднаність ЕС із зовнішнім середовищем значною кількістю комунікації.

Під зовнішнім середовищем розуміється все, що розміщене поза ЕС.

ЕС є складною, динамічною системою. Складність системи характеризується неоднорідністю відокремлених елементів і зв’язків, структурною різноманітністю, динамічність - зміною основних характеристик в часі.

Зв’язок ЕС із зовнішнім середовищем описується за допомогою входів і виходів системи (ресурсів, товарів) Кількісною мірою взаємодії системи із зовнішнім середовищем є інтенсивність входу, виходу.

Система називається детермінованою, якщо інтенсивність входів однозначно задає виходи, в іншому разі імовірнісною.

Організація системи здійснюється шляхом вибору структури і способу її функціонування. Найпростішою частиною системи, що не підлягає подальшому розчленуванню (декомпозиції), служить елемент. В залежності від мети дослідження ЕС можна розчленувати на елементи в різний спосіб. Складова частина системи, що об’єднує ряд елементів, для яких характерні властивості системи, називається підсистемою.

Універсальним методом дослідження ЕС є математичне моделювання, яке полягає у побудові економіко-математичної моделі (ЕММ) і дослідженні властивостей ЕС на основі властивостей ЕММ.

При математичному моделюванні послідовно виконуються такі дії:

• постановка проблеми та її якісний аналіз;

• побудова ЕММ та її аналіз;

• підготовка даних і побудова числової моделі;

• аналіз числової моделі і знаходження числового розв’язку задачі;

• аналіз отриманих результатів і прийняття рішення щодо їх задовільності.

Цей процес може багаторазово циклічно повторюватися аж до досягнення прийнятливого рішення.

Математична модель включає в себе величини, за допомогою яких описуються входи, виходи і стан системи. Математична модель може класифікуватися за різними ознаками і цільовим призначенням. В множині ЕММ виділимо такі групи :

• ізоморфні, гомоморфні - за мірою відповідності між системою і моделлю;

• структурні, функціональні - за способом відображення співвідношень між зовнішніми умовами, внутрішніми параметрами і шуканими характеристиками ЕС;

• детерміновані, ймовірнісні - за характером відображення причинно-наслідкових зв’язків;

• лінійні, нелінійні - за формою опису залежностей;

• з неперервними, дискретними змінами - за типом змінних, які входять у функцію мети і систему обмежень;

• зі скалярною, векторною функцією мети - за формою запису ФМ.

Модель назвемо ізоморфною, якщо її властивості співпадають з властивостями системи при дослідженні входів та виходів моделі і системи. В іншому разі модель називається гомоморфною.

При побудові функціональної моделі внутрішня структура первісних елементів ЕС не досліджується, а поведінка системи описується за допомогою залежності між її входом і виходом. При побудові структурної моделі складна система розкладається на складові частини (підсистеми) і досліджується внутрішня структура ЕС та особливості функціонування її складових елементів.

Зміст усіх інших групувальних ознак є цілком очевидним.

Ефективне функціонування ЕС може відбуватися як в умовах ринкового механізму при стихійному координуванні вибору членів суспільства в процесі ринкової взаємодії, так і в умовах директивного управління при узгодженні індивідуальних дій з інструкціями центральних органів влади. Управлінські рішення при цьому, як правило, приймаються на основі аналізу властивостей моделей, які є гомоморфними стосовно системи. Під управлінням будемо розуміти вироблення та здійснення цілеспрямованих впливів (дій) на ЕС. Управління забезпечує цілеспрямовану поведінку системи при зміні зовнішнього середовища (довкілля) і стану системи у відповідності до встановленої мети. Мета може описуватися якісним чи кількісним показником (групою показників), який характеризує ефективність функціонування системи. Показники ефективності служать для порівняння результатів керування. При економіко-математичному моделюванні мета формально відображається скалярною чи векторною функцією мети (критерієм оптимізації).

Приклад 1. Моделі національної економіки.

1.1 Функціональна модель економіки Дж.Кейнса описує залежність між валовим національним продуктом У і сукупним попитом Д:

У = Д = С+І , (1.1)

де С- витрати на споживання домашніх господарств;

І - валові капіталовкладення.

з урахуванням залежності:

С = А + с'У, (1.2)

де А - сталий рівень споживання, який не залежить від рівня доходів,

с' - гранична схильність до споживання (0< с'<1),

рівняння (1.1) набере такого вигляду:

У = А + с' У +І,

. (1.3)

1.2 Функціональна модель економіки Кобба -Дугласа описує залежність між розміром валового національного продукту У та витратами ресурсів “праця” i “капітал”:

, (1.4)

де L-витрати праці;

К - витрати капіталу;

_L, _K показники степеня.

1.3. Структурна модель економіки В.Леонт’єва (схема міжгалузевого балансу) встановлює залежність між розміром валового продукту та кінцевим продуктом кожної галузі і має такий вигляд:

X = (E-A)^-1  Y, (1.5)

де X - вектор валового продукту (Х = (х₁, х₂, ..., х_n));

Y - вектор кінцевого продукту (Y = y₁, y₂, ..., y_n);

А - матриця прямих виробничих витрат (A = , );

Е - одинична матриця.

Моделі (1.3), (1.4) називаються простими, або моделями з одним рівнянням. Модель типу (1.5) називається складною, або моделлю з багатьма рівняннями.

1.4. Функція пропозиції певного продукту має вид:

,

де р - ціна продукту.

1.5. Функція попиту певного продукту має вид:

,

де р - ціна продукту.

Функція корисності корисності двох продуктів має вид:

U = 0,5 ln y₁ + 2 ln y₂,

де y1 - розмір споживання першого продукту;

y2 - розмір споживання другого продукту.

Наведені функції пропозиції, попиту, корисності описують певні залежності для визначених продуктів. Вони не мають універсального характеру і безпосередньо не можуть використовуватися для опису відповідних залежностей для інших продуктів.

Приклад 2. Моделі планування виробництва продукції

2.1 Функціональна статична лінійна модель планування виробництва продукції у найпростішому випадку має такий вигляд:

f(x)=  max, (1.6)

 b_i, i  , (1.7)

0  d_j  x_j  D_j, j  , (1.8)

де - j-вид продукції;

i - вид ресурсу;

- прибуток від реалізованої одиниці продукції j-го виду;

- норма витрат ресурсу і-го виду на одиницю продукції j-го виду;

b_i - розмір ресурсного забезпечення;

d_j, D_j - нижня, верхня межі виробництва продукції;

- шукана кількість виробництва продукції j-го виду.

2.2 Якщо в попередній моделі (1.6) - (1.8) додатково ввести до розгляду індекс структурного підрозділу l (цеху, філіалу, дільниці), то отримаємо структурну статичну лінійну модель такого виду:

f(x)=  max, (1.9)

 b_il, i  , l  , (1.10)

0  d_j   D_j, j  (1.11)

2.3 Якщо в початкову модель ввести індекс t, який відображає вплив фактору часу, то отримаємо функціональну динамічну модель такого вигляду:

f(x)=  max, (1.12)

 b_it, i  , t  , (1.13)

0  d_jt  x_jt  D_jt, j  , t  . (1.14)