Пример решения задачи к1

Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

соs 2 = 1 - 2sin² = 2 соs² - 1; sin 2 = 2 sin соs .

Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):

x = (y + 1)² + 1 (2)

2. Скорость точки найдём по её проекциям на координатные оси:

V_1x=1,11см/c, V_1y=0.73см/c, V₁=1,33 см/c (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

И при t = 1с

При t = 1с

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство v² = v²_x + v²_y Получим:

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем, что при t = 1 с = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки а_п = . Подставляя сюда найденные числовые значения и , получим, что при t = 1 с а_1п = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории = v²/а_n. Подставляя сюда числовые значения v_l и a_ln, найдем, что при t = 1 с = 3,05 см.

Ответ: v_l = 1,33 см/с, a_l = 0,88 см/с², a_lτ. = 0,66 см/с², а_1n = 0,58 см/с², ₁ = 3,05 см.

Задача к2

При решении задач на движение плоских механизмов, представляющих собой совокупность стержней или колес, или тех и других вместе, рассматривают последовательно движение отдельных звеньев механизма. При этом следует начинать с того звена, движение которого задано. При переходе от одного звена к другому определяют скорости и ускорения тех точек, которые являются общими для двух соседних звеньев. Мгновенный центр скоростей, угловые скорости и угловые ускорения следует находить для каждого звена в отдельности.

Если требуется найти скорости нескольких точек, то наиболее эффективным является решение задач при помощи мгновенного центра скоростей. Если же требуется найти скорость какой-либо одной точки, то удобно применять к решению задачи теорему о равенстве проекций скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис. К2.0 – К2.9). Длины стержней: 1₁ = 0,4 м, 1₂ = 1,2 м, 1₃ = 1,4 м, 1₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках и точка К на рис. К2.7 – К2.9 в середине соответствующего стержня.

Определить величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение = 10 с^-2.Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т. е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 – от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость v_B – от точки В к b.