Сумма частостей всех классов вариационного ряда равна 1, т.Е.

Накопленной частотой n_sj данного класса называется сумма частот с первого по данный класс, а накопленной частостью w_sj - отношение накопленной частоты этого класса к объему выборки, т.е. доля накопленной частоты в объеме выборки.

Определяются по формулам: ; .

Накопленная частота последнего класса вариационного ряда равна объему выбор­ки N, а накопленная частость последнего класса равна 1.

Вариационные ряды могут изображаться и в графиче­ской форме. Различают: гистограммы, инте­гральные гистограммы, полигоны распределения, вариационные и кумулятивные кри­вые.

Гистограммой (или столбчатой диаграммой) называется график изменения час­тот признака по интервалам его группирования. Аналогичный график изменения накоп­ленных частот признака по интервалам его группирования называется интегральной гистограммой.

При построении гистограммы по оси абсцисс графика откладываются интервалы группирования, а по оси ординат - частоты, если все классы имеют одинаковую шири­ну. При этом высота столбика будет пропорциональна частоте данного класса. Вид гистограммы очень сильно зависит от положения границ интер­валов группирования.

Когда классы отличаются шириной интервалов группирования, при построении гистограммы либо используется другая шкала измерений по оси абс­цисс (например, логарифмическая шкала в случае десятичной классификации структур обломочных пород), либо по оси ординат гистограммы откладываются не частоты, а частоты, нормированные на ширину интервала группирования U (т.е. величины n_j /U). При этом частоте данного класса будет пропорциональна не высота столбика, а его площадь.

Полигоном распределения называется график, по оси абсцисс которого отклады­ваются середины интервалов группирования Û_j; , а по оси ординат – соответствующие им частоты n_j. Аналогичный график для частостей называется вариационной кривой, а для накопленных частостей - кумулятивной кривой (кумулятой).

Графическое изображение рядов является очень наглядным, но не полным. Наибо­лее полным является аналитический способ исследования, при котором определяют чи­словые характеристики вариационного ряда.

Статистические характеристики вариационного ряда

Различают 2 вида числовых выборочных характеристик вариационного ряда:

1) Характеристики (меры) положения; 2) характеристики (меры) рассеяния.

Мерами положения называются характерные точки на оси абсцисс графика рас­пределения, около которых группируется подавляющее число наблюдений (различные виды средних, мода и медиана).

Среднее значение является основной числовой характеристикой положения вариа­ционного ряда. Оно характеризует центр распределения, около которого группируется основная масса значений признака.

Различают следующие виды средних: арифметическое, взвешенное, квадратическое, кубическое, геометрическое, гармоническое, логарифмическое.

Наиболее широко используются среднее арифметическое и среднее взвешенное.

Среднее арифметическое рассчитывается для невзвешенного ряда: ;

а среднее взвешенное — для взвешенного интервального ряда: ,

здесь Û_j - середины интервалов группирования, остальные обозначения прежние.

Для приближенной оценки среднего при первичной обработке данных используют­ся непараметрические показатели: мода и медиана.

Мода (Мо) - значение признака, которому соответствует максималь­ная частота или частость. Графически моду легко определить по вариационной кривой или полигону распределения - это то значение признака U_i, которому соответствует максимум на указанных кривых. У интервального ряда модой является середина интер­вала с максимальной частотой или частостью.

Вариационный ряд и вариационная кривая с одной модой называются одномодальными, с двумя модами - бимодальными, с тремя модами и более - полимодальными.

Медиана (Me) - сере­дина упорядоченного вариационного ряда, т.е. это то значение признака, которое делит упорядоченный ряд на две равные по численности части. Графически медиану легко оп­ределить по кумулятивной кривой - это то значение признака, которому соответствует накопленная частость на кумуляте W_x=0,5.

Медиана определяется по-разному у несгруппированных и сгруппированных ря­дов.

Если ряд несгруппирован, т.е. каждое значение признака встречается один раз, то при нечетном числе данных (номер медианного значения) : , а при четном числе: .

Медианный интервал выбирается по кумулятивной кривой или из условия пример­ного равенства сумм частот домедианных и послемедианных интервалов.

Соотношение среднего, моды и медианы у симметричных распределений Мо=Ме= . У правоасимметричных (положительно асимметричных) рядов распределения Мо<Ме< , а у левоасимметричных (отрицательно асимметричных), наоборот Мо>Ме> .

Мерами рассеяния - статистические характеристики, которые указыва­ют на степень и характер концентрации или рассеяния значений признака относительно мер положения.

К мерам рассеяния относятся

выборочная дисперсия,

стандартное отклонение,

ко­эффициент вариации,

выборочные показатели асимметрии и

эксцесса.

Выборочной дисперсией называется средний квадрат отклонений значений при­знака от средней величины. Графически дисперсия отражает сжатость или растянутость вариационной кривой или полигона распределения вдоль оси абсцисс.

Выборочная дисперсия рассчитывается по формулам:

• для невзвешенного ряда и неупорядоченного признака:

где N- объем выборки, U_i - значения признака, - - среднее;

• для взвешенного интервального ряда ,

где Û_j – середины интервалов, n_j - частоты.

Выборочная дисперсия S², рассчитанная по этим формулам, является заниженной оценкой истинной дисперсии ² генеральной совокупности -смещенными оценками. Чтобы устранить это смещение, в знаменателе формулы S² используется не N, a (N-1). Поэтому формулы несмещенных оценок дисперсии имеют вид соответственно:

и

Для практического применения используется квадратный корень из выборочной дисперсии, который называется стандартным (основным) отклонением или стандартом и имеет размерность самой изучаемой величины (рис.1).

Рис.1.

Для того, чтобы сравнивать дисперсии разных признаков, рассчитывают безразмерный параметр, который называется коэф­фициентом вариации V и представляет собой относительное стандартное отклонение, т.е. стандартное отклонение, нормированное на среднее арифметическое .

По значениям коэффициента вариации V в геологии выделяют 5 типов распреде­лений:

1) весьма равномерное V<5%, 2) равномерное V=5-40%, 3) неравномерное V=40-100%; 4) весьма неравномерное V= 100-150%, 5) крайне неравномерное V> 150%.

Выборочный показатель асимметрии указывает на характер и степень симметрии или асимметрии вариационной кривой. Рассчитывается по формулам: для невзвешенного ряда и неупорядоченного признака: , - для взвешенного интервального ряда

По степени асимметрии выделяют 4 типа вариационных кривых:

1) симметричные А = 0;

2) практически симметричные |А| ≤ 0,1;

3) слабо асимметричные 0, 1< |А| ≤ 0,5

4) сильно асимметричные |А| > 0,5.

По характеру асимметрии различают 2 типа кривых (рис.2):

1) правоасимметричные (положительно асимметричные) при А>0;

2) левоасимметричные (отрицательно асимметричные) при А<0.

Рис.2. Рис.3.

Выборочный показатель эксцесса характеризует степень крутовершинности или плосковершинности вариационной кривой по сравнению с кривой нормального распре­деления. Для невзвешенного ряда: , - для взвешенного ряда.