8.1.3 Общие требования, предъявляемые к частотным характеристикам электрических фильтров

Идеальный фильтр, как следует из определения, должен обеспечивать в полосе пропускания значение коэффициента передачи и значение фазового сдвига , линейно изменяющегося с изменением частоты, а в полосе заграждения передача должна отсутствовать, то есть . Однако реальные электрические цепи не могут отвечать таким требованиям.

Действительно, пусть имеет место быть идеальный ФНЧ, комплексная передаточная функция которого имеет вид:

(8.1)

Частотные характеристики такого идеального ФНЧ представлены на рисунке 8.5.

Рисунок 8.5 - Частотные характеристики идеального ФНЧ: а) амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ)

Но возможна ли реализация четырехполюсника, обладающего такими частотными свойствами? Определим импульсную характеристику такого фильтра, воспользовавшись ее связью с комплексной передаточной функцией [4]:

(8.2)

Таким образом, сигнал на выходе рассматриваемого идеального фильтра должен был бы, в принципе, существовать и при , в то время как вызывающий его появление входной сигнал при отсутствовал бы. Иными словами, рассматриваемая идеальная цепь была бы способна реагировать, прежде чем на ее вход подано вызывающее этот сигнал воздействие. Очевидно, никакая реальная физическая система подобным свойством, противоречащим принципу причинности, обладать не может.

В связи с этим требования к амплитудно-частотной характеристике физически реализуемого фильтра [5], помимо сформулированных, должны включать также наличие полосы перехода - диапазона частот, разделяющего полосы пропускания и заграждения. В полосе перехода значение коэффициента передачи не нормируется и происходит его плавное изменение от значений, требуемых в полосе пропускания, до значений, допустимых в полосе задерживания. Кроме этого, требования, предъявляемые к частотным характеристикам реальных фильтров, формулируются несколько иначе: в полосе пропускания значения коэффициента передачи должны быть как можно ближе к единице (ослабление сигнала , определяемое как или , не должно превышать некоторое малое значение ), а в полосе заграждения - как можно ближе к нулю (ослабление сигнала не должно быть ниже некоторого заданного значения ).

8.1.4 Аппроксимация передаточной функции реального электрического фильтра

Передаточная функция любой электрической цепи с постоянными сосредоточенными параметрами является дробно-рациональной функцией комплексной частоты , а квадрат ее модуля - функцией . Задача аппроксимации частотной характеристики реального электрического фильтра состоит в выборе такого вида этой функции, который наиболее близок к характеристике соответствующего идеального электрического фильтра.

Пусть - аппроксимирующая функция, а - нормированная частота. Задача построения оптимальной частотной характеристике сводится к построению такой функции , значения которой в полосе пропускания отличаются от единицы на сколь угодно малую наперед заданную величину, а в пределах полосы заграждения - резко уменьшаются с ростом частоты. Поставленным условиям удовлетворяет дробь вида:

, (8.3)

где - полином степени , модуль которого не превосходит единицы в полосе пропускания и монотонно возрастает в полосе задерживания, - число, характеризующее неравномерность частотной характеристики в полосе пропускания. Если полиномы нормированы на единицу, то в полосе пропускания:

. (8.4)

Тогда максимальное ослабление сигнала в пределах полосы пропускания электрического фильтра (неравномерность АЧХ фильтра) связано с соотношениями:

или . (8.5)

Так при неравномерности АЧХ в 3 дБ, .

В полосе задерживания значение уменьшается тем быстрее, чем выше степень полинома . Если ввести нормированную граничную частоту полосы заграждения , то величина минимального ослабления в пределах полосы заграждения электрического фильтра будет составлять:

. (8.6)

По заданным , , и виду полиномов можно определить степень , обеспечивающую требуемый спад частотной характеристики в пределах полосы заграждения.

Одно из решений задачи аппроксимации частотной характеристики состоит в выборе в качестве полиномов степенной функции [6]. Тогда квадрат модуля аппроксимирующей функции для реального фильтра нижних частот имеет вид:

. (8.7)

Подобный вид аппроксимации определяет фильтры с максимально плоскими характеристиками, или фильтры Баттерворта.

На рисунке 8.6 представлены графики аппроксимирующих функций для реального ФНЧ, заданных выражением (8.7), для различных порядков аппроксимирующих полиномов.

Рисунок 8.6 - Вид аппроксимирующей функции для реального ФНЧ при выборе в качестве полиномов степенной функции со степенью полинома от 1 до 4

Из рисунка видно, что с ростом степени полинома начальная часть кривых, соответствующая полосе пропускания электрического фильтра, становится все более плоской, а в полосе заграждения – значения аппроксимирующей функции уменьшаются, тем самым приближается к частотной характеристики идеального ФНЧ.

Другой подход связан с использованием в качестве полиномов полиномов Чебышева [6], определяемых при общим соотношением . Так, например, , , , и т. д. Известно, что из всех полиномов степени с одинаковыми старшими коэффициентами полином Чебышева наименее всего отклоняется от нуля на отрезке от -1 до 1, где он принимает максимальные и минимальные значения . Такое свойство полиномов Чебышева определяет равноколебательный характер аппроксимирующей функции, которая в полосе пропускания колеблется между и 1. Число экстремумов аппроксимирующей функции в полосе пропускания равно степени полинома . С увеличением степени полинома спад частотной характеристики в полосе заграждения увеличивается, и она также приближается к частотной характеристике идеального ФНЧ.

На рисунке 8.7 представлены графики аппроксимирующих функций для реального ФНЧ для различных порядков аппроксимирующих полиномов. Подобная аппроксимация носит название равноколебательной, а соответствующие фильтры называются фильтрами Чебышева.

Рисунок 8.7 - Вид аппроксимирующей функции для реального ФНЧ при использовании полиномов Чебышева со степенью полинома от 1 до 4

Из сравнения максимально плоских и равноколебательных характеристик, отвечающих одним и тем же значениям и следует, что в полосе задерживания вторая характеристика убывает быстрее. Это соотношение носит общий характер. А поскольку степень полинома определяет число реактивных элементов в схеме электрического фильтра, то заданное ослабление в полосе заграждения обеспечивается при равноколебательной аппроксимации более простой схемой с меньшим числом реактивных элементов, чем при максимально плоской аппроксимации.

ПРИМЕР

Рассмотрим Т-образный фильтр нижних частот, нагруженный на некоторое известное сопротивление .

Несогласованный Т-образный фильтр нижних частот

Определим комплексный коэффициент передачи напряжения такой цепи. Входное сопротивление цепи равно:

.

Входной ток, согласно закону Ома для комплексных амплитуд, равен:

.

Тогда напряжение на емкости равно:

.

Тогда ток в нагрузке равен:

.

Окончательно, напряжение в нагрузке равно:

.

Тогда согласно определению комплексной функции цепи:

,

а квадрат ее модуля:

, или же

.

Приравняем это выражение к аппроксимирующей функции максимально плоского фильтра 3-го порядка:

.

Из сравнения коэффициентов при одинаковых степенях частоты получаем систему уравнений вида:

Из второго уравнения системы находим, что , а из первого - . Комбинируя полученные выражения находим, что и . Подставляя данные выражения в третье уравнение системы приходим к следующему результату: или же . Тогда или же . Величина же емкости оказывается равной .

Если использовать для сравнения равноколебательную аппроксимирующую функцию фильтра третьего порядка вида:

,

то аналогичные выкладки приводят к другим параметрам схемы: , , .

Очевидно, что подобная процедура определения параметров пассивных фильтров весьма громоздка, однако все вычисления имеют стандартный характер. Задача определения параметров упрощается для активных фильтров с каскадной структурой, в которой передаточные функции отдельных каскадов не влияют друг на друга и могут быть проанализированы по отдельности.