Решение.

Сколько было бы колес, если бы все автомобили были легковыми?

4 x 750 = 3000.

Сколько колес имеется потому, что среди автомобилей есть грузовые?

3024 – 3000 = 24.

На сколько колес у грузового автомобиля больше, чем у легкового?

6 – 4 = 2.

Сколько автомобилей – грузовые?

24 : 2 = 12.

Сколько автомобилей – легковые?

750 – 12 = 738.

Решение полезно проверить:

Сколько колес у 738 легковых автомобилей?

4 x 738 = 2952.

Сколько колес у 12 грузовых автомобилей?

6 x 12 = 72.

Сколько всего колес?

2952 + 72 = 3024.

Ответ: 738 легковых и 12 грузовых.

12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – нечетные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти нечетных цифр. На второе – любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты двадцатью способами: 13 _, 15 _, 17_, 19 _; 31_ ,35_, 37 _, 39_; 51 _, 53 _, 57_, 59 _; 71_ ,73_, 75 _, 79_; 91_, 93_ , 95_, 97_.

В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 13_ третье место можно занять цифрами 5, 7 или 9. Значит, всего чисел получится 60. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из пяти цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 5 x 4 x 3 = 60.

Ответ: 60 чисел.

13. Путь, который прошли туристы за понедельник, изображается на карте отрезком в 3 см, а путь, пройденный во вторник, – отрезком в 15 мм. В какой день они прошли больше и во сколько раз?

Решение. Отрезок в 15 мм в два раза меньше, чем отрезок в 3 см. Поэтому во вторник туристы прошли меньше, чем в понедельник, и притом в два раза.

Ответ: В понедельник пройден путь в два раза больший, чем во вторник.

14. Человек отвечает на вопросы только "да" или "нет" и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: "Ты уже соврал?", и он ответил "Нет". Остается ли за ним право соврать при ответе на следующие вопросы?

Решение. Он не мог соврать, потому что это была бы вторая ложь. Поэтому право соврать один раз за ним остается.

Ответ: да.

15. Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепочки. И они, поразмыслив, смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. Как они это сделали?

Решение. Чтобы в первый день отдать одно кольцо, придется его отпилить. Но это можно сделать так, чтобы от цепи отделилось еще одно кольцо или еще два кольца для расплаты за следующий день. Более выгоден второй вариант.

Ответ: Если распилить одно только третье кольцо, то можно расплачиваться за каждый день. В первый день отдать распиленное кольцо, во второй забрать его и отдать два отпиленных кольца, в третий день добавить к ним распиленное кольцо, в четвертый день забрать все обратно и отдать четыре кольца и т.д.

16. Перерисуй по клеткам.

17. Какой цифрой оканчивается выражение 2974 x 5698 – 4325 x 1748?

Решение. Первое произведение оканчивается на 2, второе на 0, значит, разность оканчивается на 2.

Ответ: 2.

18. Гном разложил свои сокровища в 3 сундука разного цвета, стоящих у стены: в один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, в третий – магические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги – правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зеленый сундук стоит левее синего?

Решение. По условию, сундук с камнями левее красного, а сундук с книгами правее красного. Значит, красный сундук стоит посередине и в нем лежат золотые монеты. Так как зеленый и синий сундук – крайние и зеленый стоит левее синего, то зеленый – крайний слева, а синий – крайний справа. Вспоминая, что камни левее, а книги правее красного сундука, приходим к выводу, что камни лежат в зеленом, а книги – в синем сундуке.

Ответ: в синем.

19. Из 15 котят 8 рыжих и 7 пушистых, и других нет. Есть ли среди этих котят хоть один рыжий и пушистый одновременно?

Решение. Нарисуем два пересекающихся круга. Левый пусть обозначает рыжих котят, а правый – пушистых котят. Возможны разные варианты рисунка. На первом имеются котята, рыжие и пушистые одновременно. На втором таких котят нет. Если бы правильным был первый рисунок, то тогда рыжих не пушистых котят было бы меньше восьми на то число, сколько котят находятся в общей части кругов (на нашем рисунке таких котят два), пушистых не рыжих было бы меньше семи на то же число (у нас на 2). Значит, всего котят было бы меньше 15. А на втором рисунке их как раз 15. Значит, правильный – второй рисунок.

Ответ: нет.

20. Однажды древнеримский полководец Юлий Цезарь послал тайное письмо, в котором каждая буква была заменена третьей от нее по алфавиту, расположенному кольцом. Расположи этим способом русский алфавит и зашифруй шифром Цезаря фразу "Век живи, век учись".

Ответ: ЕИН КМЕМ, ЕИН ЦЪМФЯ.

21. 1 февраля 1996 г. был четверг. Каким днем недели было 1 марта 1996 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 1996 г. до 1 марта 1996 г. (так как 1996 г. был високосным, то в феврале было 29 дней); каким днем является день "четверг + 29 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "четверг + 28 дней" – снова четверг, а "четверг + 29 дней" – пятница).

Ответ: 1 марта 1996 г. была пятница.

Полезно составить календарь на февраль 1996 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный.

22. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются?

Решение. На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр (трехзначное число не может начинаться нулем). На второе место можно поставить любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты шестнадцатью способами: 20 _, 24 _, 26_, 28 _; 40_ , 42_, 46 _, 48_; 60_, 62_, 64_, 68 _; 80_ , 82_, 84_, 86_. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 20_ третье место можно занять цифрами 4, 6 или 8. Значит, всего чисел получится 48. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 4 x 4 x 3 = 48.

Ответ: 48 чисел.

23. Масштаб карты равен 1:300000. Сколько километров в 1 см этой карты?

Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:300000, значит, в 1 см карты содержится 300000 см, то есть 3 км.

Ответ: 3 км.

24. Три брата пришли на постоялый двор, заказали пельмени и улеглись спать. Когда старший брат проснулся, он увидел на столе пельмени, пересчитал их и съел свою долю. После этого он снова уснул. Проснулся средний брат, пересчитал пельмени на столе и съел одну треть, не зная, что старший брат уже поел. После этого средний брат тоже уснул. Наконец, проснулся младший брат. Он съел третью часть имевшихся на столе пельменей. После этого он разбудил старшего и среднего брата и предложил им съесть оставшиеся 24 пельменя. Как должны братья разделить эти пельмени между собой?

Решение. Составим таблицу и будем ее заполнять.

Было первоначально

Осталось после старшего

Осталось после среднего

Осталось после младшего 24

Младший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 24 пельменя осталось. Значит, он съел 12 пельменей, и перед ним было 36 пельменей:

Было первоначально

Осталось после старшего

Осталось после среднего - 36

Осталось после младшего - 24

Средний брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 36 пельменей осталось. Значит, он съел 18 пельменей, и перед ним было 54 пельменя:

Было первоначально

Осталось после старшего 54

Осталось после среднего 36

Осталось после младшего 24

Старший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 54 пельменя осталось. Значит, он съел 27 пельменей, и перед ним был 81пельмень:

Было первоначально - 81

Осталось после старшего - 54

Осталось после среднего - 36

Осталось после младшего 24

Итак, всего был 81 пельмень, а значит, каждому полагалось по 81 : 3 = 27 пельменей. Старший брат уже съел все полагавшиеся ему пельмени, средний съел 18, и еще 9 ему полагается, а остальные 15 пельменей полагаются младшему брату.

Ответ: Старшему – 0, среднему – 9, младшему – 15.

25. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Решение. См. задачу 5.

26. Имеется пакет емкостью 600 г и салфетка. Как отмерить в мешок ровно 1 кг чая из ящика, содержащего 1кг 100 г чая?

Решение. 1) Отсыпать из ящика в пакет 600 г. 2) Пересыпать их из пакета в мешок. 3) Остальные 500 г высыпать из ящика в пакет. 4) Накрыть чай в пакете салфеткой и поверх нее насыпать (до края) 100 г из мешка. 5) Пересыпать 100 г с салфетки в ящик. 6) Остальные 1000 г высыпать в мешок. Все эти этапы представлены на следующей схеме.

Ящик 1100 г 500 г 500 г 0 0 100 г 100 г

600-граммовый пакет 0 600 г 0 500 г 500 г + 100 г 500 г 0

Мешок 0 0 600 г 600 г 500 г 500 г 1000 г

27. Какой цифрой оканчивается выражение 8977 x x 3249 + 387387 : 819 – 851 x 243?

Решение. Первое произведение оканчивается на 3, частное – на 3, второе произведение – на 3. Окончательный результат оканчивается на 3.

Ответ: 3.

28. Составь магический квадрат 5х5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке.

Решение. Для этого в каждой строке и в каждом столбце должны находиться все числа от 1 до 5.

Ответ: например, так:

29. 4 человека стоят у лифта 5-этажного дома. Все они живут на разных этажах, от второго до пятого. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж – неудовольствие, подняться на один этаж – двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?

Решение. Прежде чем решать эту задачу, надо хорошо понять ее необычные условия. Для этого полезно разобрать, что получится, если лифт остановится, например, на четвертом этаже. Тогда без неудовольствий окажется жилец 4 этажа. Жилец 5 этажа получит двойное неудовольствие, так как ему придется подняться на один этаж (с 4 на 5). Жилец 3 этажа получит одно неудовольствие, жилец

2 этажа – два неудовольствия. Впрочем, еще лучше, если жилец 2 этажа поднимется пешком с 1 этажа на 2: неудовольствий столько же, а лифт не перегружен. Итого, если лифт остановится на 4 этаже, получится 2 + 1 + 2 = 5 неудовольствий.

Ответ: на четвертом этаже.

30. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.

Решение. Надо находить суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов ряда. Они равны между собой: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Таких пар, а значит, таких сумм будет 100 : 2 = 50. Значит, общая сумма равна 101 x 50 = 5050.

Ответ: 5050.

31. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 198675 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые?

Решение. Сумма первых трех цифр равна 1 + 9 + 8 = 18, и эти цифры долго не менялись и долго не будут меняться.. Менялись и будут меняться последние цифры, но их сумма должна быть равна тоже 18. Первая из этих трех цифр 6 долго не менялась и не будет меняться. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 12. Перед числом 75 такое ближайшее число 66, а после 75 – число 84.

Ответ: 198666 и 198684.

32. Сколько существует круглых четырехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

Решение. Так как числа круглые, то они оканчиваются нулем, а так как ни одна цифра не повторяется, то на первые три места можно ставить любые из оставшихся четырех четных цифр (не повторяя их). На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр, от 2 до 8. На второе – любую из трех оставшихся цифр. Значит, первые два места могут быть заняты двенадцатью способами: 24_0, 26_0, 28_0; 42_0, 46_0, 48_0; 62_0, 64_0, 68_0; 82_0, 84_0, 86_0. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из двух оставшихся цифр. Например, в случае 24_0 третье место можно занять цифрами 6 или 8. Значит, всего чисел получится 24. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из трех оставшихся цифр, третьей – любая из двух оставшихся цифр, четвертой – только одна цифра нуль; значит, всего таких чисел 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Ответ: 24 числа.

33. Масштаб карты равен 1:400000. Сколько километров в 1 см этой карты?

Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:400000, значит, в 1 см карты содержится 400000 см, то есть 4 км.

Ответ: 4 км.

34. Какое число в задаче на вычисление пропущено: 51 : ... – 12?

Решение. Здесь пропущено число, на которое делится число 51, то есть либо пропущено число 1, либо 3, либо 17, либо 51. Но если пропущено 17 или 51, то получатся выражения, не имеющие смысла: 51 : 17 – 12 или 51 : 51 – 12.

Ответ: 1 или 3.

35. Куплены русская, немецкая, французская и английская марки. Стоимость покупки без русской марки 40 р., без немецкой – 45 р., без французской – 44 р., а без английской – 27 р. Сколько стоит русская марка?

Решение. Обозначим цену русской марки буквой р, немецкой – буквой н, французской – буквой ф, английской – буквой а. Тогда

н + ф + а = 40,

р + ф + а = 45,

р + н + а = 44,

р + н + ф = 27.

Сложив все эти равенства, получим

3р + 3н + 3ф + 3а = 156,

р + н + ф + а = 52, р = 12.

Ответ: 12 р.

Облегчить понимание этого решения можно, несколько переформулировав задачу.

35а. Коля, Петя, Вася и Леша покупали марки. На прилавке они увидели русскую, немецкую, французскую и английскую марки. Продавец сказал, что таких марок в магазине много. Коля купил немецкую, французскую и английскую марки, Петя – русскую, французскую и английскую марки , Вася – русскую, немецкую и английскую марки, Леша –русскую, немецкую и французскую. Узнай, сколько стоит русская марка, если известно, что Коля заплатил 40 р., Петя 45 р., Вася 44 р., Леша 27 р.

Решение. 1) Сколько заплатили вместе все четверо? 40 + 45 + 44 + 27 = 156 (р.).

По сколько марок каждой страны они купили? 4 – 1 = 3.

Сколько стоят вместе одна русская, одна немецкая, одна французская и одна английская марки? 156 : 3 = 52 (р.).

Сколько стоит одна русская марка? 52 – 40 = 12 (р.).

Ответ: 12 р.

36. Перерисуй по клеткам отрезок АВ.

Решение. От точки А можно придти в точку В, пройдя четыре клетки вправо и столько же вверх.

37. Какой цифрой оканчивается выражение

4891 x 4892 x 4893 x 4894 x 4895?

Решение. Так как в произведение входят числа 4892 и 4895, то оно оканчивается нулем.

Ответ: 0.

38. Продолжи последовательность: 2, 3, 5, 8.

Решение. 3 из 2 можно получить прибавлением единицы, 5 из 3 можно получить прибавлением двойки, 8 из 5 – прибавлением тройки. Можно и дальше прибавлять к числу на 1 больше, чем в предыдущем случае.

Ответ. 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... .

39. Перед нами стоят три закрытых ящика. Известно, что в одном ящике лежат два белых шарика, в другом – два черных, а в третьем ящике лежит один белый шарик и один черный. На каждом ящике имеется этикетка с надписью. На одном ящике написано: "Два белых", на другом написано "Два черных", на третьем "Один белый и один черный". Известно, что ни одна надпись не соответствует действительности. Нужно установить, какие шарики лежат в каком ящике. Для этого разрешается вынуть один шарик на ощупь из одного ящика. Из какого ящика нужно вынуть шарик?

Решение. Надо вынуть шарик из ящика с надписью "Один белый и один черный". Эта мысль может родиться из соображений симметрии: только этот ящик "симметричен сам себе", не имеет другого симметричного. Если мы вынем белый шарик, в этом ящике лежат два белых шарика, а если черный – два черных.

Ответ: из ящика с надписью "Один белый и один черный".

40. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(483 – 15) x (869 – ___) = 0.

Решение. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Первый множитель не равен нулю, значит, равен нулю второй множитель. Получается, что 869 – ___ = 0, а значит, пропущено число 869.

Ответ: 869.

41. 1 февраля 2000 г. был вторник. Каким днем недели было 1 марта 2000 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 2000 г. до 1 марта 2000 г. (так как 2000 г. был високосным, то в феврале было 29 дней); каким днем является день "вторник + 29 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "вторник + 29 дней" – среда).

Ответ: 1 марта 2000 г. была среда.

42. В столовой можно взять щи, бульон, гороховый суп, жареную рыбу и мясные котлеты. Сколько разных обедов из двух блюд – первого и второго – можно заказать в этой столовой?

Решение. На первое можно взять одно из трех блюд, которые можно кратко обозначить Щ, Б, Г. На второе можно взять любое из двух блюд: Р или К. Значит, весь обед может быть записан так: ЩР, ЩК, БР, БК, ГР или ГК.

Ответ: 6 обедов.

43. Масштаб плана равен 1 : 10. Какой отрезок обозначается на этом плане отрезком 1 см. Начерти план своего класса в этом масштабе.

Решение. Если масштаб плана 1 : 10, значит, в 1 см плана содержится 10 см, то есть 1 дм.

Ответ: 1 дм.

44. Электрические настенные часы со стрелками отстают каждые сутки на 6 минут. Хозяин поставил их на верное время, а сам уехал в командировку. Когда он вернулся, часы опять показывали верное время. Сколько суток он отсутствовал?

Решение. Часовой циферблат разделен на 12 частей, то есть на 12 часов. Отставая каждые сутки на 6 минут, часы снова будут показывать точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 12 час : 6 мин = (12 x 60) мин : 6 мин = 120 оборотов, или через 60 суток.

Ответ: хозяин отсутствовал 60 суток или несколько раз по 60 суток.

45. Среди девяти монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как двумя взвешиваниями установить, какая монета фальшивая?

Решение. Надо вспомнить задачи на взвешивание, когда монет всего три (см. задачи 5 и 25). Нам требуется первым взвешиванием установить, в какой тройке монет находится фальшивая, а вторым взвешиванием найти эту монету.

Ответ: первым взвешиванием сравниваем две тройки из данных девяти монет; если тройки уравновесятся, то фальшивая монета в третьей тройке, если одна из троек окажется тяжелее, то фальшивая монета в ней. Вторым взвешиванием сравниваем две монеты из той тройки, в которой находится фальшивая монета; если монеты уравновесятся, то фальшивая монета – третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она – фальшивая.

46. Перерисуй по клеткам отрезок АВ.

Решение. От точки А можно придти в точку В, пройдя пять клеток вправо и три вниз.

47. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 7 x 8 x 7 x 8 x 7 x 8?

Решение. Данное выражение есть произведение трех чисел 56, оканчивающихся на 6. Произведение таких чисел оканчивается также на 6.

Ответ: 6.

48. Две ученицы, Люда и Валя, победили в математической олимпиаде. Нужно было выяснить, кому из них дать первую премию, а кому вторую. Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие, попросил их зажмуриться и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. После этого он сказал, что они могут открыть глаза. "Кто догадается, – сказал судья, – какого цвета на ней заколка, та получит первую премию." Девочки смотрели друг на друга. Каждая видела на другой красную заколку, но не знала, какая заколка на ней. Наконец, Люда сказала: "На мне красная заколка" – и получила первую премию. Как она могла додуматься до верного ответа?

Решение. Люда знала, что Валя сообразительная девочка. Если бы Валя увидела на Люде синюю заколку, она сразу догадалась бы, что на ней самой красная заколка (ведь синяя заколка была одна). И раз Валя молчала, значит, она не видела на Люде синюю заколку, а видела красную.

Ответ: Так как Валя молчала.

49. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно?

Решение. Нарисуем два пересекающиеся круга. Левый пусть обозначает ушастых щенят, правый кусачих, а в общей части будут ушастые и кусачие одновременно. Так как ушастых 8, а всего щенят 12, то в самой правой части рисунка находятся 4 щенка – не ушастые, но кусачие. Так как кусачих 9, а всего щенят 12, то в самой левой части рисунка находятся 3 щенка – не ушастые, но кусачие. Значит, в центральной части рисунка находятся 5 щенков – ушастых и кусачих одновременно.

Можно оформить это решение по вопросам.

Сколько щенят – не ушастые? 12 – 8 = 4.

Сколько щенят – не кусачие? 12 – 9 = 3.

Сколько щенят обладает только одним из этих качеств (только кусачие или только ушастые)? 4 + 3 = 7.

Сколько щенят обладают обоими качествами (кусачие и ушастые одновременно)? 12 – 7 = 5.

Ответ: 5.

50. Илья стоит в хороводе. 5-й слева от Ильи тот же, что и 7-й справа. Сколько людей в хороводе, если их меньше 10?

Решение. Условия, данные в задаче, осуществимы, только если в число четырех, стоящих между Ильей и еще одним (Жорой) засчитывается Илья и, быть может, также и Жора. Это получится, если в хороводе 4 человека. Их могло бы быть и двое, но двое – не хоровод.

Ответ: 4.

51. В день рождения Оли мама разложила на блюде пирожные в форме креста и сказала Оле: "Вот видишь, если начинать считать пирожные с левого, с верхнего или с правого конца и досчитать их до низу, всегда получится восемь пирожных – как раз столько, сколько тебе исполнилось лет.". Мама ушла готовить салат. А Оля подумала, что можно съесть несколько пирожных и так разложить оставшиеся, что мамино правило их счета будет выполняться. Что же придумала Оля?

Решение. Оля уменьшила перекладину креста и увеличила нижний конец на столько же пирожных.

Ответ виден на рисунке.

52. Пятеро друзей обменялись фотографиями. Сколько для этого понадобилось фотографий?

Решение. Каждый должен подарить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 x 5 = 20 фотографий. (Другой способ рассуждения: каждый должен получить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 x 5 = 20 фотографий.)

Ответ: 20 фотографий.

53. В стакане чая растворили 10 г сахара. Маша выпила полстакана. Сколько сахара выпила Маша?

Решение. Так как сахар растворен в стакане чая, то можно считать, что в равных количествах чая содержатся равные количества сахара. Поэтому в половине стакана содержится половина всего сахара, то есть 5 г.

Ответ: 5 г.

54. Какое число в задаче на вычисление пропущено:

(483 – 23) : ___ – 5200 : 26?

Решение. Во-первых, должно быть осуществимо деление числа 483 – 23 = 460 на пропущенное число, а во-вторых, результат этого деления должен быть не меньше, чем число 5200 : 26 = 200.

Ответ: 1 или 2.

55. Имеются 5 монет. Три из них имеют массу по 10 г каждая. Об остальных двух монетах известно, что они имеют одинаковую массу, а на вид не отличаются от 10-граммовых. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну монету в 10 г?

Решение. Надо сравнить массы любых двух монет. Потом надо сравнить массы еще двух монет. Если в обоих случаях весы уравновесились или в обоих случаях не уравновесились, то пятая монета – 10-граммовая. Если в одном из случаев весы уравновесились, а в другом не уравновесились, то уравновесившиеся монеты – 10-граммовые.

Ответ: надо сравнивать массы монет, кладя на каждую чашу весов по одной монете.

56. Перерисуй по клеткам угол АВС и проверь транспортиром, что этот угол равен 45о

57. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 2539 + 4873 + 2965 + 8427 + 6461?

Решение. Крайние слагаемые дают число, делящееся на 100, вторые от концов – также 100. Значит, сумма оканчивается на 65.

Ответ: 65.

58. Компьютер написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал компьютер?

Решение. 9 однозначных чисел написано 9 цифрами, 90 двузначных написано 180 цифрами, 900 трехзначных 2700 цифрами, число 1000 – четырьмя цифрами, итого 2890 цифр.

Ответ: 2893.

59. Расставь числа от 0 до 8 в девяти клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 4 должно стоять в центре квадрата?

Решение. Первая часть задачи может быть решена подбором. Но еще лучше решить ее рассуждениями, как это сделано здесь.

Найдем сумму всех чисел от 0 до 8. Она равна 36.

Найдем сумму чисел в каждом из трех столбцов (или, что то же, в каждой из трех строк или в каждой из двух диагоналей). Она равна 36 : 3 = 12.

Выпишем все тройки чисел от 1 до 8, дающие в сумме 12:

0 + 4 + 8 = 0 + 5 + 7 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7 = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5.

В центр поместим число, имеющееся в четырех таких тройках. Это число 4.

В один из углов поместим число, имеющееся в трех таких тройках. Это, например, число 1.

Заполним еще один угол так, чтобы сумма чисел в диагонали равнялась 12.

Заполним еще один угол любым из оставшихся чисел, входящих в три тройки (например, числом 5):

Закончим работу, следя за тем, чтобы каждая сумма в строках, столбцах и диагоналях равнялась 12.

Ответ: один из возможных квадратов

60. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(___ – 254) x (585 + 2) = 0

Решение. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Но второй множитель не равен нулю, значит, равен нулю первый множитель. Получается, что ___ – 254 = 0, а значит, пропущено число 254.

Ответ: 254.

61. 1 февраля 1900 г. была пятница. Каким днем недели было 1 марта 1900 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: 1) сколько дней прошло с 1 февраля 1900 г. до 1 марта 1900 г. (так как 1900 г. в григорианском календаре был невисокосным, то в феврале было 28 дней; заметим, что, в отличие от юлианского календаря ("старого стиля") в григорианском календаре годы, оканчивающиеся двумя нулями, являются високосными лишь в том случае, если они делятся на 400 : 1800 и 1900 – невисокосные, а 2000, 1600 и 2400 – високосные); 2) каким днем является день "пятница + 28 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "пятница + 28 дней" – снова пятница).

Ответ: 1 марта 1900 г. была пятница.