Расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении – сжатии.

Цель занятия: Научится строить графики продольных сил, напряжений и перемещений, а также проводить расчеты на прочность и жесткость.

Краткая теория.

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором сечении бруса возникает только продольная сила т. е. направленная по оси стержня.

Стержнями называют тела, у которых один размер намного больше двух других.

Для построения эпюры продольных сил пользуются методом сечений.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается, и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действующие до разреза. Оставшаяся часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных на одну сторону сечения.

Растягивающие продольные силы считаются положительными, а сжимающие – отрицательными.

Для упрощения построения графика сил стержень необходимо разбить на участки. Участком называется отрезок оси стержня на протяжении которого график сил непрерывен.

Границами участка будем считать:

• Начало или конец стержня,

• Начало или конец распределенной нагрузки,

• Точка приложения сосредоточенной силы.

• Изменение размеров сечения.

Нумеровать участки следует со стороны свободного конца стержня или подвижного шарнира, т. к. в этих точках не возникает реакций.

Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении. Размерность [Па]. При сжатии – растяжении в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения, т. е. направленные перпендикулярно сечению, которые определяются по формуле:

,

где N – продольная сила в сечении,

А – площадь поперечного сечения.

При действии продольной силы стержень изменяет свою длину. Разница между конечной длиной и начальной называется абсолютным удлинением, которое можно найти по формуле:

,

где Е – модуль Юнга, являющийся характеристикой материала (для стали Е=210¹¹Па)

l – длина рассматриваемого участка.

Произведение модуля Юнга на площадь сечения называется жесткостью сечения.

Пример.

Для данного ступенчатого бруса построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если Е=210⁵ МПа=210¹¹Па, F₁=30кН=3010³Н, F₂=38кН=3810³Н, F₃=42кН=4210³Н, А₁=1,9см²=1,910^-4м²,

А₂=3,1см²=3,110^-4м²,[]=160МПа.

Решение.

1. Разбиваем брус на участки как показано на рис.

2. Определяем ординаты эпюры N на участках бруса:

, , , ,

.

Строим эпюру продольных сил.

3. Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений:

Строим эпюру нормальных напряжений.

Т. к. _max>, то на прочность не выдержит.

О пределяем перемещение свободного конца:

Брус удлиняется на 0,23 мм.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое сжатие – растяжение?

2. Что такое участок?

3. В каких опорах не возникают продольные силы?

4. Что такое напряжение?

5. Что такое нормальные напряжения и как они рассчитываются при сжатии – растяжении?

6. Что такое абсолютное удлинение?

7. Что характеризует модуль Юнга?

8. Что такое жесткость сечения при растяжении – сжатии?