1. 2 Методы оценки систем одновременных уравнений
Непосредственное применение обычного метода наименьших квадратов для оценки уравнений системы (в структурной форме) нецелесообразно, так как в системах одновременных уравнений нарушается важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность факторов. Это приводит к тому, что оценки параметров будут смещёнными и несостоятельными.
Косвенный метод наименьших квадратов
Обычный метод наименьших квадратов можно применить для приведённой формы системы, так как в этой форме все факторы предполагаются экзогенными. Сущность косвенного метода наименьших квадратов (КМНК, ILS) заключается в том, чтобы оценить структурные коэффициенты, подставив в аналитическое выражение их зависимости от приведённых оценок последних, полученных обычным методом наименьших квадратов. Полученные оценки будут состоятельными.
Применение косвенного метода наименьших квадратов возможно только при точной идентифицируемости системы. Однако, часто уравнения системы оказываются сверхидентифицированными. В этом случае существуют несколько асимптотически эквивалентных, но разных оценок параметров структурной формы и в общем случае нет критерия выбора между ними.
Двухшаговый метод наименьших квадратов
Суть двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК, TSLS, 2SLS) заключается в следующем:
Шаг 1. Обычным методом наименьших квадратов оценивается зависимость эндогенных переменных от всех экзогенных (фактически оценивается неограниченная приведённая форма).
Шаг 2. Обычным методом наименьших квадратов оценивается структурная форма модели, где вместо эндогенных переменных используются их оценки, полученные на первом шаге.
При точной идентифицируемости системы ДМНК-оценки совпадают с КМНК-оценками.
Можно показать, что ДМНК-оценки параметров каждого уравнения фактически равны:
TSLS
=
где Z - матрица всех переменных правой части данного уравнения, X - матрица всех экзогенных переменных системы.
Трехшаговый мнк
В двухшаговом методе наименьших квадратов по сути каждое уравнение структурной формы оценивается независимо от других уравнений, то есть не учитывается возможная взаимосвязь случайных ошибок уравнений структурной формы между собой. В трёхшаговом методе наименьших квадратов (ТМНК, 3SLS) первые два шага совпадают с ДМНК и добавляется:
Шаг 3. На основе ДМНК-оценок остатков структурных уравнений получают оценку ковариационной матрицы вектора случайных ошибок системы и с её помощью получают новую оценку коэффициентов с помощью обобщенного метода наименьших квадратов.
При наличии корреляций между уравнениями ТМНК-оценки теоретически должны быть лучше ДМНК-оценок.
Методы максимального правдоподобия.
Метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) — метод, использующий всю информацию об ограничениях на приведённую форму модели.
Метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML, метод наименьшего дисперсионного отношения) предназначен для оценки одного уравнения системы. Остальные уравнения оцениваются лишь в той мере, в какой это необходимо для оценки данного уравнения. Первое оценивается в структурной форме, остальные в неограниченной приведённой, то есть используется не вся доступная информация при оценке. Данный метод сводится к нахождению минимального собственного числа определенной симметрической матрицы.