3. Пластическая деформация

Получив кривую деформирования при начальном нагружении образцов материала, нельзя обнаружить, является ли материал упругим или нет. Свойство пластичности обнаруживается только после разгрузки на основе наличия остаточной деформации (рис.4.3). Процесс разгрузки, практически отвечает линейной функции

, (3.1)

Рис.3.1

где модуль E почти тот же, что и модуль Юнга в пределах упругости, когда напряжения достаточно малы. Поэтому разность, стоящую в скобках выражения (3.1), стали называть упругой деформацией

. (3.2)

Далее мы будем использовать это выражение независимо от экспериментальных наблюдений (в частности, разгрузку образца можно выполнить не всегда). Заметим, что название «упругая деформация» чисто условно, так как применено к неупругому телу; правильнее было бы назвать его «линейной» деформацией, поскольку это величина, линейно связанная с напряжением (подобно деформации линейно упругого тела). Модуль упругости – это константа материала, поэтому величина (_z /E) может рассматриваться как безразмерное напряжение, масштабированное с помощью постоянной величины E.

Разность называют пластической, или неупругой деформацией; в неизотермическом случае

. (3.3)

Это тоже условное название; правильнее было бы назвать эту величину нелинейной деформацией, отличающей полную деформацию от линейной. Заметим, что выражение или

(3.4)

(в неизотермическом случае) иногда называют физическим уравнением, заменяющим закон Гука. В действительности это просто следствие двух введенных определений для упругой и неупругой деформации, не имеющих отношения к свойствам материала. Несмотря на такую «нефизичность», разделение полной деформации на слагаемые оказывается удобным. В частности, для ситуации на рис.3.1 можно констатировать, что при нагружении пластическая деформация растет, а в процессе разгрузки не изменяется.

При исследовании деформационных свойств материалов задают напряжение (или деформацию) и следят за изменением деформации (или напряжения); свойства материала при этом не зависят от того, какое производится нагружение: мягкое или жесткое. В любом случае, опираясь на линеаризованное физическое уравнение (3.4), мы следим в действительности за эволюцией пластической деформации. Все модели неупругих материала, так или иначе, определяют закон для величины . Более того, и упругое тело можно определить таким законом: например, физическое уравнение отвечает закону Гука. Закон или отвечает нелинейно упругому телу, поскольку означает однозначную связь между напряжениями и деформациями.

При сложном напряженно-деформированном состоянии мерой упругой деформации является двухвалентный тензор

, (3.5)

неупругая деформация определяется следующим образом

, (3.6)

а физическое уравнение имеет вид

. (3.7)

4. Модель идеальной пластичности при одноосном растяжении

Рис.4.1

Простейшей моделью неупругого склерономного тела является модель идеально пластического материала. При одноосном нагружении она характеризуется диаграммой Прандтля: при напряжениях, не превышающих по модулю предела текучести, оно деформируется упруго (при этом приращение пластической деформации равно нулю); при  = _T происходит рост пластической деформации, а при  = –_T – убывание. При пластическом деформировании напряжение постоянно. Последняя особенность приводит к тому, что идеально пластический материал граничит с неустойчивым материалом, его нагружение не может быть чисто силовым: реакция в этом случае неоднозначна. Но при кинематическом воздействии идеально пластическое тело вполне устойчиво, его реакция однозначна. Для примера на рис.4.1 показана диаграмма деформирования OABCDK при некоторой заданной истории деформации.

Математически поведение идеально пластического материала описывается выражением

. (4.1)

десь H(x) – это функция Хевисайда, равная 0 при x < 0 и равная 1 при x  0. Данное выражение точно отражает поведение идеально пластического материала при кинематическом нагружении, но нужно иметь незаурядный опыт, чтобы его «прочитать», то есть отчетливо представить и понять смысл записанного. На участках OA, BC и DK приращение пластической деформации равно нулю, за что отвечает второй множитель этого выражения . На участке OA пластическая деформация возрастает и ее приращение совпадает с приращением полной деформации. За возрастание пластической деформации отвечает третий множитель этого выражения , а за совпадение с полной деформацией – первый множитель . На участке CD та же ситуация, только с противоположным знаком – пластическая деформация на этом участке убывает.

Рис.4.2

Существует простая и значительно более наглядная механическая аналогия, описываемая выражением того же типа (рис.4.2). Некоторый груз лежит на столе и может приводиться в движение с помощью пружины жесткостью с, если сила P достигнет предельного значения силы трения F_тр. При |P| < F_тр груз неподвижен, и смещение u связано с деформированием пружины. При |P| = F_тр груз сдвигается; силами инерции пренебрегаем, потому в процессе движения груза сила постоянна и равна F_тр. Связь между u и P описывается выражением (4.1), если заменить напряжение _z на силу P, продольную деформацию _z на перемещение u точки приложения силы, а перемещение груза – на пластическую деформацию .