Задача 5.
Заменив
неизвестные параметры генеральной
совокупности соответственно их наилучшими
выборочными оценками, по данным задачи
4, используя
- критерий Пирсона, на уровне значимости
проверить две гипотезы о том, что
изучаемая случайная величина
- число мигрантов в данном населенном
пункте – распределена:
а) по нормальному закону распределения;
б) по равномерному закону распределения.
Построить на чертеже, где изображена гистограмма эмпирического распределения, соответствующие графики нормального и равномерного распределения.
Решение:
Выдвинем
гипотезу о том, что распределение
генеральной совокупности подчинено
нормальному закону с параметрами
и
.
Проверим эту гипотезу по
- критерию Пирсона при уровне значимости
.
Составим расчетную таблицу:
Концы промежутков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
-1,59 |
-0,5 |
-0,4441 |
0,0559 |
3,91 |
1 |
3 |
-1,59 |
-1,13 |
-0,4441 |
-0,3708 |
0,0733 |
5,13 |
3 |
5 |
-1,13 |
-0,67 |
-0,3708 |
-0,2486 |
0,1222 |
8,55 |
5 |
7 |
-0,67 |
-0,21 |
-0,2486 |
-0,0832 |
0,1654 |
11,58 |
7 |
9 |
-0,21 |
0,25 |
-0,0832 |
0,0987 |
0,1819 |
12,73 |
9 |
11 |
0,25 |
0,72 |
0,0987 |
0,2642 |
0,1655 |
11,59 |
11 |
13 |
0,72 |
1,18 |
0,2642 |
0,3810 |
0,1168 |
8,18 |
13 |
|
1,18 |
|
0,3810 |
0,5 |
0,1190 |
8,33 |
|
|
|
3 |
3,91 |
0,212 |
8 |
5,13 |
1,606 |
10 |
8,55 |
0,246 |
11 |
11,58 |
0,029 |
10 |
12,73 |
0,585 |
8 |
11,59 |
1,112 |
6 |
8,18 |
0,581 |
14 |
8,33 |
3,859 |
|
|
8,23 |
Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляем по формуле:
.
Из
таблицы критических значений
при уровне значимости
и числе степеней свободы
находим
.
Поскольку
,
то при данном уровне значимости гипотеза
о нормальном распределении генеральной
совокупности принимается.
Выдвинем
гипотезу о том, что распределение
генеральной совокупности подчинено
равномерному закону в интервале
.
Найдем значения параметров
и
:
,
.
Отсюда
следует, что данная случайная величина
не может быть распределена по равномерному
закону, поскольку нижняя граница
интервала
больше минимального значения выборки
.
Вычислим значения теоретической плотности нормального распределения:
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0,0214 |
-1,82 |
0,0761 |
0,0177 |
2 |
8 |
0,0571 |
-1,36 |
0,1582 |
0,0365 |
4 |
10 |
0,0714 |
-0,90 |
0,2661 |
0,0615 |
6 |
11 |
0,0786 |
-0,44 |
0,3621 |
0,0836 |
8 |
10 |
0,0714 |
0,02 |
0,3989 |
0,0921 |
10 |
8 |
0,0571 |
0,48 |
0,3555 |
0,0821 |
12 |
6 |
0,0429 |
0,95 |
0,2541 |
0,0587 |
14 |
14 |
0,1 |
1,41 |
0,1476 |
0,0341 |
Здесь
- плотности относительных частот.
Строим
на одном чертеже гистограмму относительных
частот, график теоретической плотности
нормального распределения и график
теоретической плотности равномерного
распределения
:
