1.1. Единицы измерения

Измерить какую-либо величину Q – это значит сравнить ее с другой величиной q той же физической природы, т. е. определить, во сколько раз Q больше q. Для единообразия устанавливают (в масштабе страны, континента, всего мира) определенное значение величины q и называют ее единицей измерения. Так, за единицу длины (метр) принимается длина 1650763,33 волн излучения атома криптона, за единицу времени (секунда) принимается определенная часть года и т. д.

Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц. Наиболее распространенной и имеющей предпочтительное применение является Международная система единиц (СИ) (System International).

В СИ произвольно, т. е. независимо одна от другой, выбраны единицы измерения так называемых первичных величин — массы (килограмм, кг), длины (метр, м), времени (секунда, сек), силы тока (ампер, А), температуры (Кельвин, К) и силы света (Канделла). Они получили название основных единиц.

Единицы измерения остальных, вторичных, величин выражаются через основные. Формула, указывающая зависимость единицы измерения вторичной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины. Размерность вторичной величины находится при помощи определительного уравнения, служащего определением этой величины в математической форме. Например, определительным уравнением для скорости является

Будем указывать размерность величины при помощи взятого в квадратные скобки символа этой величины, тогда

[]=[L][T]^-1,

где [L], [Т] – соответственно размерности длины и времени;

Определительным уравнением для силы можно считать второй закон Ньютона F = mа.

Тогда [F] = [M][L][T]^-2.

Определительное уравнение работы A=Fs;

[A] = [M][L]²[T]^-2.

Необходимо отметить одно существенное обстоятельство: размерность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей первичных величин.

Так в случае трех основных единиц измерения [Q] = [M]^[L]^[T]^τ.

1.2. Переход от одних единиц измерения к другим

При решении какой-либо задачи очень редко бывает так, что имеются шесть основных единиц измерения. Например, если изучается поведение чисто механической системы, то такие единицы, как ампер, Кельвин, свеча, не входят в размерность ни одной величины, размерность любой вторичной величины выражается через метр, килограмм, секунду. Электрическая система, в которой отсутствует механическое перемещение тел, определяется размерностями тока, длины, времени (ампер, метр, секунда).

Будем иметь в виду только механические системы с их тремя основными единицами измерения. Легко заметить, что общность получаемых ниже выводов от этого не теряется. Как известно, этими тремя основными единицами являются единицы измерения длины [L], массы [М] и времени [Т].

Можно ли выбрать в качестве первичных величин какие-либо три иные: u₁; u₂; u₃?

Очевидно, это можно сделать в том случае, если:

1) размерности [u₁], [u₂], [u₃] являются независимыми функциями [М], [L], [T], т. е. [u₁]  [u₃]^ [u₂]^, при любых  и ;

2) возможно однозначное обратное преобразование, т. е. [М], [L], [Т] единственным образом можно выразить через [u₁], [u₂], [u₃].

Выясним, при каком условии оба эти требования удовлетворяются.

Пусть размерности u₁, u₂, u₃ таковы:

, , .

Прологарифмируем эти выражения

;

;

.

Как известно из курса алгебры, такая система уравнений имеет решение, и притом единственное, если составленный из коэффициентов уравнения определитель отличен от нуля:

.

Тем самым удовлетворяется второе требование, т. е. при выполнении условия [М], [L], [Т] единственным образом выражается через [u₁], [u₂], [u₃].

В то же время условие указывает на независимость функций через [u₁], [u₂], [u₃]. Действительно, если бы имелось равенство

[u₁] = [u₂]^ [u₃]^.

откуда

lg [u₁] =  lg [u₂] +  lg [u₃],

то тогда

, , ,

т.е. первая строка определителя являлась бы линейной комбинацией второй и третьей, и определитель равнялся бы нулю, что противоречит условию (1).

Итак, условием возможности выбора в качестве основных единиц через [u₁], [u₂], [u₃] является условие .

Полученное правило, очевидно, характерно и для более общего случая при любом числе основных единиц. При этом, если число основных единиц равно , то количество величин u_i также равно , порядок определителя будет .

Например, первичными величинами могут быть сила, время, длина (система МКГСС):

u_l = F, u₂ = T, u₃ = L;

действительно, соответствующий определитель

Первичными величинами могут быть и сила, плотность, время, поскольку соответствующий определитель = – 4. Но для силы, скорости и мощности =0, эти величины не являются независимыми (что можно усмотреть и из связывающего их уравнения N = F ), и их размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц измерения.