2. Эмпирическая функция распределения

^{Эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного x, т.е. F*(x)=W(X<x) =Wнак.}

^{Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частость Wнак. Функция F*(x) является статистическим аналогом интегральной функции распределения вероятностей F(x).}

Для дискретных случайных величин эмпирическая функция распределения F*(x) представляет прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюдаемым значениям случайной величины и по величине равны относительным частотам этих значений. Значения F*(x) равны накопленным частостям W_нак:

Кумулята и график эмпирической функции распределения для дискретных случайных величин приведен на рис. 5, а.

3. Выборочные числовые характеристики

Для непрерывных случайных величин значения эмпирической функции распределения можно найти только на концах интервала (табл. 2.1), так как неизвестно, сколько значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше х.

Таблица 2.1

Значения эмпирической функции распределения

х, мм	х1(min)	х2	х3	…	…	…	xmax
F*(x)	0	Wнак1	Wнак2	…	…	…	1,0

^{На основе данных табл. 2.1 и кумуляты (рис. 4) строится график эмпирической функции распределения (рис. 5, б). Так как табл. 2.1 и кумулята определяют функцию F*(x) не полностью (не для всех х известны ее значения), то при графическом ее изображении целесообразно F*(x) доопределить. Для этого точки соединяют сплошной линией, включая интервалы ]-; xmin] и [xmax; +[.}

3. Выборочные числовые характеристики

^{Числовые характеристики изучаемой случайной величины Х, определенные по выборке, называются выборочными числовыми характеристиками. Они являются статистическими оценками генеральных числовых характеристик:}

1. выборочное среднее характеризует среднее значение исследуемой случайной величины и является статистической оценкой ее истинного значения (математического ожидания):

(1)

Формулу (1) удобно применять, если отсутствуют повторяющиеся значения и составлен простой (табл.1.1) или вариационный (табл.1.2) статистический ряд. В том случае, если данные можно представить в виде статистического распределения частот (табл.1.3), то выборочное среднее проще определить по формуле:

(2)

2. выборочная дисперсия характеризует средний квадрат отклонения значений случайной величины от выборочного среднего и является статистической оценкой генеральной дисперсии:

(3)

или (4)

Формулу (3) применяют, если составлен простой или вариационный статистический ряд (табл.1.1 или 1.2); формулу (4) ­– если данные представлены в виде статистического распределения частот (табл.1.3).

3. выборочное среднее квадратическое отклонение * характеризует среднее отклонение значений случайной величины от выборочного среднего:

4. выборочная мода Мо* – значение, которое встречается наибольшее число раз;

5. выборочная медиана Ме* – значение случайной величины, которое делит вариационный ряд пополам: число значений, меньших Ме*, равно числу значений, больших Ме*;

6. коэффициент вариации V характеризует однородность выборки или степень рассеяния значений (если коэффициент вариации меньше 33%, выборка считается однородной):

7. выборочный коэффициент ассиметрии А* характеризует симметричность кривой распределения, полигона или гистограммы:

(5)

или (6)

8) выборочный коэффициент эксцесса * и эксцесс Е* характеризуют степень «островершинности» («крутизны») кривой распределения (полигона или гистограммы) по сравнению с теоретическим нормальным распределением^*:

(7)

или (8)

Формулы (5) и (7) применяют, если составлен простой или вариационный статистический ряд; формулы (6) и (8) ­– если данные представлены в виде статистического распределения частот.