2. Пусть
Найдём производную функции . Имеем
Итак,
Критическими точками функции являются точки, в которых производная равна нулю или не существует.
1) Производная равна нулю, если
Итак,
,
где
,
является критической точкой функции
.
2)
Производная не существует, если
,
где
Итак,
,
,
,
где
,
являются
критическими точками функции
.
Исследуем критические точки функции на экстремум.
3)
Если
то функция
имеет три критические точки
,
.
Так как
то
.
Точки
,
разбивают числовую прямую на интервалы
Определим
знаки функции
на каждом интервале (рис. 14). Из
рисунка 14 делаем вывод, что точки , , где являются экстремальными.
Ответ.
Если
то точка
точка
экстремума; если
то
точки
,
точки
экстремумов.
54.
Найдите все значения параметра а,
при которых имеет более двух точек
экстремумов функция
.
Решение.
Имеем
Найдём
производную функции
.
Имеем
Исследуем функцию на экстремум при различных значениях параметра а.
1)
Если
то функция
имеет две критические точки
(точка
является критической, так как производная
в этой точке не существует, точка
является критической, так как
,
точка
не является критической, так как
а тогда
).
2)
Если
,
то функция
имеет две критические точки:
Из
1) и 2) следует:
не удовлетворяют условию задачи.
3) Пусть
Тогда,
если
то
функция
имеет три критические точки:
которые разбивают числовую прямую на
интервалы
На
рисунке 15 указаны знаки функции
на каждом интервале. Из рисунка 15 делаем
вывод, что функция
имеет три экстремальные точки.
Итак,
удовлетворяют условию задачи.
4)
Если
то
функция
имеет две критические точки:
5)
Если
то функция
имеет две критические точки
Из
4) и 5) следует:
не удовлетворяют условию задачи.
Ответ.
55. Найдите все значения параметра а, при которых функция
1) имеет критические точки, но не имеет точек экстремума;
2) имеет точки экстремума;
3) имеет две точки экстремумов разного знака.
Решение.
1. Если
то
.
Последняя
функция является квадратичной функцией,
которая в точке
имеет максимум.
2. Пусть
Найдём производную функции . Имеем
Отметим:
функция
,
где
является
квадратичной функцией.
Если
уравнение
не имеет корней, то функция
не имеет критических точек, а значит,
не имеет экстремумов.
Если уравнение имеет корень двойной кратности, то этот корень является критической точкой функции , но не является экстремальной точкой (производная сохраняет знак).
Если уравнение имеет два разных корня, то эти корни являются критическими точками функции и являются экстремальными точками (при переходе через критические точки производная меняет знак).
Критическими точками функции являются точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим уравнение
,
где
Найдём
дискриминант квадратного уравнения
.
Имеем
1) Пусть
а)
Если
то
Из
последнего неравенства следует: если
,
то функция
имеет
одну
критическую точку
(так как
),
которая не
является экстремальной.
б)
Если
то
Из
последнего неравенства следует: если
то функция
имеет одну
критическую точку
(так как
),
которая не
является экстремальной.