2. Основное содержание темы.

1) Историческая справка.

Слово «процент» происходит от латинского слова procentum, что буквально означает « за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике т. к. они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями.

Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задания на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Далее римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, т. к. некоторые заимодавцы усердствовали с получением процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и процент с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислении процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты применяются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак « %» происходит, как полагают от итальянского слова cento, которое в процентных расчетах писалось его. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t, в наклонную черту. Произошел современный символ для обозначения процента. Есть другая версия возникновения знака «%». В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

2) По страницам учебника «математика-6»

Авторы И.И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Авторы учебника предлагают решать задачи в три этапа математического моделирования.

Рассмотрим № 373 учебника.

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный -15% . Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг. сушеных?

Дети рассуждают примерно так: взяли свежие грибы, при сушке вода испаряется, получаются сушеные грибы.

Эту часть рассуждений при решении задачи называют составлением математической модели. На этом этапе переводят текст задачи с обыденного языка на математический язык. В результате получают математическую модель ситуации, описанной в условии задачи:

Такой математической моделью и является составленное уравнение. После этого приступают ко второму этапу, который называют работой с математической моделью. На этом этапе надо решить составленное уравнение.

90*17- 100х=15*(17-х)

1530-100х=255-15х

1275=85х

х=15

Уравнение решено.

Теперь надо приступить к третьему этапу- ответу на вопрос задачи.

Мы получили х=15,а за х было принято количество воды. Значит, сушеных грибов получится 2 килограмма.

Аналогично можно ответить на вопрос второй части задачи.

Рассмотрим № 590 учебника.

Свежий виноград содержит 90% воды, а изюм -55% .Сколько изюма получится из 13,5 килограммов винограда? Сколько винограда надо взять чтобы получить 10 килограммов изюма?

Дети рассуждают примерно так: берем 13,5 килограмма свежего винограда, который содержит 90% воды .Сушим его. При сушке испаряется вода, в воде воды 100%. Получаем изюм, который содержит 55% воды.

Во время рассуждений появляется схема:

13,5*90-100х=55(13,5-х)

1215-100х=742,5-55х

1215-742,5=100х-55х

472,5=45х

х=10,5

Ответ:3 кг.

Вторая часть задачи:

Чтобы получить данную схему, дети рассуждали так: берем 10 кг изюма, содержащего 55% воды. Добавляем х кг воды. В воде воды 100%.Получаем свежий виноград массой 10 +х кг, содержащий 90% воды.

Составляем уравнение:

90*(10+х)=55*10+100х

900+90х=550+100х

900-550=10х

350=1Ох

х=35

Ответ:45кг.

Рассмотрим № 592 учебника.

На столе лежал расколотый арбуз массой 10 кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась и ее процентное содержание в арбузе понизилось до 96%.Найти новую массу арбуза.

Учащиеся рассуждают так: на столе лежал арбуз, массой 10кг, содержащий99% воды. Он раскололся. Испарилось х кг воды. В воде воды 100%. После этого арбуз стал весить 10-х кг и содержать 96% воды

В итоге рассуждений учащиеся 6 класса получают схему:

99*10-100х=96*(10-х)

990-100х=960-96х

30=4х

х=7,5

Ответ:2,5 кг.

Рассмотрим № 643 учебника.

Сколько получится муки из 15,2 тонн пшеницы, если масса муки составляет80 % массы зерна?

Рассуждаем так: при размоле зерна массой 15,2 т, содержащего 80% муки отбрасываем отходов х т содержащих 0% муки. Получаем 15,2-хт муки. В муке муки 100%.

В результате такого рассуждения получили схему:

Составляем уравнение:

15,2*80-0*х=100(15,2-х)

1216=1520-100х

-304=-100х

х=3,04

Ответ: 12,16т

^{Задачи из материалов ЕГЭ}

ЕГЭ 2003г. Уровень В-7

В баке находится 30 литров 30% раствора соли. Сколько воды надо добавить,

чтобы в растворе было 20% соли?

30л

х+30 л

х л

30%

20 %

0 %

30*30=(х+30)*20

900=20х+600

20х=300

х=15

Ответ: 15 л.

ЕГЭ 2003г. Уровень В-7

Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав Содержит 10% цинка, второй 40%.Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20%цинка. Определить массу нового сплава.

10*(3+х)+40х=(3+2х)*20

30+10х+40х=60+40х

30+50х=60+40х

10х=30

х=3

Ответ:9кг

ЕГЭ 2003г. Уровень В-7

Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие 8%.Сколько получится сухих

грибов из 23 кг свежих?

23*92-100х=8(23-х)

2116-100х=184-8х

х=21

Ответ: 2кг.

ЕГЭ 2003г. Уровень В-7

В лажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%.Во время перевозки из-за дождей влажность повысилась на 2 % .Найти массу перевезенной смеси, если со склада было отправлено 400кг.

400*18+100х=(400+х)*20

7200+100х=8000+20х

800= -80х

х=10

Ответ:410 кг.

ЕГЭ 2003г. Уровень А

В одной смеси содержится 15 % вещества N, а во второй 30 %. Сколько нужно взять каждой смеси , чтобы получить 18 кг смеси с содержанием 20 % вещества N.

15х+540-30х=360

-15х= -180

х=12

Ответ: 12 кг, 6 кг.

ЕГЭ 2003г. Уровень - В

Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации 40% и 60%. Эти

растворы смешали, после чего добавили 5 литров чистой воды и получился