Глава 1. Вынужденные колебания

.1 Особенности вынужденных колебаний и их примеры

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. Эта сила, как правило, выполняет двоякую роль: во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии; во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:

Составим уравнение движения для системы, колеблющейся под воздействием такой силы. Предполагаем, что на систему также действует квазиупругая сила и сила сопротивления среды (что справедливо в предположении малости колебаний). Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:

или

Проведя подстановки , , - собственная частота колебаний системы, получим неоднородное линейной дифференциальное уравнение 2^го порядка:

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения известно:

,

где ;₀ и a - произвольные const.

Далее предположим, что частное (не содержащее произвольных констант) решение неоднородного уравнения имеет вид

С помощью векторной диаграммы можно убедиться, что такое предположение справедливо, а также определить значения “a” и “j”.

Амплитуда колебаний определяется следующим выражением:

.

Значение “j”, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы , также определяется из векторной диаграммы и составляет:

Окончательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид:

(1)

Эта функция в сумме дает общее решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (2) играет заметную роль в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 1). С течением времени из-за экспоненциального множителя роль второго слагаемого (2) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (1).

(2)

Рис 1. Стадии процесса, при установлении колебаний

Таким образом, функция (1) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w₀ и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания “j” также зависит от частоты вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

В целом ряде случаев колебательная система совершает колебания под действием внешней силы, работа которой периодически возмещает потерю энергии на трение и другие сопротивления. Частота таких колебаний зависит не от свойств самой колеблющейся системы, а от частоты изменения периодической силы, под действием, которой система совершает свои колебания. В этом случае мы имеем дело с вынужденными колебаниями, т. е. с колебаниями, навязанными нашей системе действием внешних сил.

Источники возмущающих сил, следовательно, и вынужденных колебаний, весьма разнообразны.

Остановимся на характере возмущающих сил, встречающихся в природе и в технике. Как уже указывалось, электрические машины, паровые или газовые турбины, быстровращающиеся маховики и т.д. из-за несбалансированности вращающихся масс вызывают колебания роторов, перекрытий фундаментов зданий и т.д. Поршневые машины, к которым относятся двигатели внутреннего сгорания и паровые машины, из-за происходящего возвратно-поступательного движения некоторых частей (например, поршня), выхлопа газов или пара, являются источником периодических возмущающих сил.

Обычно возмущающие силы увеличиваются с ростом числа оборотов машины, поэтому исключительно важное значение приобретает борьба с вибрациями в быстроходных машинах. Она осуществляется часто путем создания специального упругого фундамента или устройством упругой подвески машины. Если машина жестко укреплена на фундаменте, то возмущающие силы, действующие на машину, почти целиком передаются на фундамент и далее через грунт на здание, в котором машина установлена, а также на рядом расположенные сооружения.

Для того чтобы уменьшить действие неуравновешенных сил на основание, необходимо, чтобы собственная частота колебаний машины на упругом основании (прокладке) была значительно ниже частоты возмущающих сил, определяемой числом оборотов машины.

Причиной вынужденных колебаний судна, качки кораблей являются волны, набегающие периодически на плавающее судно. Кроме качки корабля в целом под действием волнения воды, наблюдаются также вынужденные колебания (вибрация) отдельных частей корпуса судна.

Рис.3 Размах качки судна

Причиной таких вибраций является неуравновешенность главного двигателя судна, вращающего гребной винт, а также вспомогательных механизмов (насосов, динамо-машин и т.п.). Во время работы судовых механизмов возникают силы инерции неуравновешенных масс, частота повторения которых зависит от числа оборотов машины. Кроме того, вынужденные колебания судна могут быть вызваны периодическим воздействием лопастей гребного винта на корпус судна.

Вынужденные колебания моста могут быть вызваны идущей по нему в ногу группой людей. Колебания железнодорожного моста могут возникнуть под действием спарников, соединяющих ведущие колеса проходящего паровоза. К причинам, вызывающим вынужденные колебания подвижного железнодорожного состава (электровоза, паровоза или тепловоза, и вагонов), относятся периодически повторяющиеся удары колес о стыки рельсов. Вынужденные колебания автомобилей вызываются повторяющимися ударами колес о неровности дорожного покрова. Вынужденные колебания лифтов и подъемных клетей шахт происходят вследствие неравномерности работы подъемной машины, вследствие неправильной формы барабанов, на которые наматываются канаты, и т.п. Причинами, вызывающими вынужденные колебания проводов электропередач, высоких зданий, мачт и дымовых труб могут быть порывы ветра.

Особый интерес представляют вынужденные колебания самолетов, которые могут вызываться различными причинами. Здесь, прежде всего, следует иметь в виду вибрацию самолета, вызываемую работой винтомоторной группы. Вследствие неуравновешенности кривошипно-шатунного механизма, работающих двигателей и вращающихся воздушных винтов возникают периодические толчки, поддерживающие вынужденные колебания.

Рис.4 Примеры волн в природе и технике

Наряду с колебаниями, вызываемыми действием рассмотренных выше внешних периодических сил, в самолетах отмечаются и внешние воздействия другого характера. В частности, возникают вибрации, связанные с плохой обтекаемостью передней части самолета. Плохое обтекание надстроек на крыле или неплавное соединение крыла с фюзеляжем (корпусом) самолета приводит к вихре образованиям. Вихри воздуха, отрываясь, создают пульсирующий поток, бьющий по хвостовому оперению и вызывающий его тряску. Такая тряска самолета наступает при определенных режимах полета и проявляется в виде толчков, происходящих не вполне регулярно, через 0,5-1 секунду.

Такого рода колебания, связанные, главным образом, с вибрацией частей самолета вследствие завихрения при обтекании крыла и других передних частей самолета, называют «баффтингом». Явление баффтинга, вызванное срывом потоков с крыла, особенно опасно, когда период ударов по хвостовой части самолета близок к периоду свободных колебаний оперения или фюзеляжа самолета. В этом случае колебания типа «баффтинг» резко возрастают.

Весьма интересные случаи баффтинга наблюдались при сбрасывании десанта с крыла самолета. Появление людей на крыле приводило к вихреобразованиям, вызывающим вибрации самолета. Другой случай появления баффтинга оперения на двухместном самолете был вызван тем, что в задней кабине сидел пассажир и выступающей головой способствовал вихреобразованию в потоке воздуха. При отсутствии пассажира в задней кабине никаких колебаний не наблюдалось.

Важное значение имеют также изгибные колебания воздушного винта, вызываемые возмущающими силами аэродинамического характера. Эти силы возникают вследствие того, что винт при вращении за каждый оборот дважды проходит мимо передней кромки крыла. Скорости же потока воздуха в непосредственной близости от крыла и на некотором удалении от него различны, а потому и аэродинамические силы, действующие на воздушный винт, должны периодически изменяться дважды за каждый оборот винта. Это обстоятельство и служит причиной возбуждения поперечных колебаний лопастей винта.