4.2 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Интерполяционный полином не всегда удобен для приближения функций. Если таблица значений содержит результаты какого-то эксперимента, полученные с погрешностью, то не целесообразно проводить кривую точно через все узлы, как при интерполяции. На практике часто используют другой способ приближенного представления (аппроксимации) функций, заданных таблицей, который называется методом наименьших квадратов.

Пусть функция y = f(x) задана таблицей приближенных значений y_i = f(x_i), i = 0, 1, 2, …, n.

Согласно методу наименьших квадратов, за меру отклонения полинома

(4.12)

от данной функции f(x) на множестве точек принимают величину

,

(4.13)

равную сумме квадратов отклонений полинома Q_m(x) от функции f(x) на заданной системе точек. Очевидно, что S_m – это функция коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_m. Эти коэффициенты нужно подобрать так, чтобы величина S_m была наименьшей.

Полученный полином называется аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома – точечной квадратичной аппроксимацией функции.

Для нахождения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_m найдем частные производные по всем переменным a₀, a₁, a₂, …, a_m от величины

,

(4.14)

где y_i = f(x_i). Приравнивая эти частные производные нулю, получим систему (m + 1) уравнений с (m + 1) неизвестными:

(4.15)

В общем случае, когда аппроксимирующий полином для данной функции является обобщенным:

где – функции, находим частные производные от величины

Согласно (4.15), будем иметь систему уравнений, позволяющую определить коэффициенты :

(4.16)

Многочлен Q_m(x) называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f(x) на [a, b]. Задача нахождения такого многочлена упрощается, если система {_i(x)} является ортогональной на [a, b].

Функции и называются ортогональными на множестве точек , если скалярное произведение этих функций равно нулю, т. е.

или в другой записи

Система функций {_i(x)} называется ортогональной на множестве точек , если функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве,т. е.

при

Или в другой форме записи

Если система {_i(x)} является ортогональной, то коэффициенты обобщенного многочлена Q_m(x) определяются по формулам

.

(4.17)

Если функция аппроксимируется обобщенным полиномом на отрезке [a, b], то коэффициенты можно определить по формуле

(4.18)

Коэффициенты называются коэффициентами Фурье полинома относительно ортогональной системы функций .

Пусть на отрезке [– l, l] задана система ортогональных функций

(4.19)

Для на [– l, l] тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

,

(4.20)

где коэффициенты Фурье определяются формулами (4.18) и имеют вид

, k = 1, 2, … .

(4.21)

В качестве еще одной ортогональной системы можно рассмотреть полиномы Лежандра:

, (n = 0, 1, 2, …).

(4.22)

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке [–1, 1], т. е.

при n ≠ m.

Обобщенный многочлен степени n относительно ортогональной системы алгебраических полиномов Лежандра имеет вид

, где	(4.23)
	(4.24)
Замечание Если функция определена на [a, b], то с помощью линейного преобразования (4.25) можно получить полином Лежандра, ортогональный на отрезке [a, b]:

Пример 1

Найти алгебраический многочлен степени n = 2 наилучшего среднеквадратичного приближения для функции на отрезке [0, 2].

Оценить погрешность.

Искомый многочлен имеет вид , где – полиномы Лежандра (определены соотношением (4.25)).

Делаем замену переменных и переходим от [0, 2] к рассмотрению отрезка [–1, 1].

Получим , определенную на отрезке [–1, 1]:

Коэффициенты Фурье найдем по формуле (4.24).

;

;

.

Таким образом,

.

Результаты показаны на рис. 4.2.

Р ис. 4.2. Исходная функция и ее аппроксимация из Примера 1

Пример 2

Имеется таблица значений:

X 10 20 30 40 50 60 70 80

Y 15,3 20,5 27,4 36,6 49,1 65,6 87,8 117,6

Представить зависимость величин x и y в виде функции y(x) = ae^bx.

Прологарифмируем эту функцию: . Если обозначить , то получим . Исходная таблица значений примет следующий вид:

x 10 20 30 40 50 60 70 80

2,73 3,02 3,31 3,60 3,89 4,18 4,48 4,77

Для нахождения коэффициентов а и b воспользуемся методом наименьших квадратов.

Согласно методу наименьших квадратов, сумма квадратов отклонений искомого полинома от значений в каждой точке должна быть минимальна, т. е.

;

;

;

.

b = 0,029; c = 2,436.

= 11,472.

Тогда искомая зависимость будет иметь вид .

Результаты показаны на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Исходная функция и ее аппроксимация из Примера 2