2. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

Критерий Коши.

, или .

Критерий Коши также называется равномерной фундаментальностью.

Доказательство. Необходимость.

Пусть , тогда

равномерная фундаментальность последовательности f_n(x).

Достаточность.

Пусть f_n(x) – равномерная фундаментальная последовательность  f_n(x) – фундаментальная (по критерию Коши) . Запишем подробно условие равномерной фундаментальности:

.

Доказано.

Для функционального ряда критерий Коши выглядит так: равномерно сходится на [a, b] тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм S_n(x) равномерно фундаментальная на [a, b], т.е. .

Пример.

Применим критерий Коши:

равномерной сходимости нет.

Для равномерной сходимости функционального ряда можно указать некоторые достаточные признаки.

Признак Вейерштрасса.

Если сходится, то сходится равномерно на [a, b].

Доказательство. Будем использовать критерий Коши для равномерной сходимости функционального ряда.

(по критерию Коши)

Доказано.

Пример.

поэтому при по признаку Вейерштрасса функциональный ряд сходится равномерно для всех , хотя поточечно он сходится при .

При можно показать, что для ряда справедливо следующее важное утверждение: частичные суммы ряда равномерно ограничены для любого х:

Доказательство. В силу периодичности и нечётности достаточно считать и рассмотреть

Для оценки воспользуемся преобразованием Абеля:

Далее:

Итак,

3. Признаки Абеля, Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Сформулируем признаки равномерной сходимости Дирихле и Абеля для рядов вида: (1).

Признак Дирихле.

Если для ряда (1) выполнены условия:

1. 

2. 

3. 

то ряд (1) сходится равномерно на [a, b].

Признак Абеля.

Если для ряда (1) выполнены условия:

1. 

2. 

3. то ряд (1) сходится равномерно на

Эти признаки доказываются точно также как и для числовых рядов, используя преобразование Абеля и критерий Коши для сходящихся рядов.

Задача. При каких условиях на (невозрастающая)

Достаточные условия вытекают из признака Дирихле:

Остаётся проанализировать условия (1) и (2) и потребовать, чтобы Если эти условия выполнены, то ряд сходится равномерно. Можно показать, что эти условия являются и необходимыми.

Лекция 2 Равномерная сходимость и непрерывность предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда. Пространство . Его полнота

1. Равномерная сходимость и непрерывность предельной функции функциональной последовательности

Теорема 1. Если

Доказательство. Будем исходить из следующей оценки:

Итак,

Зафиксируем функция 

равномерно непрерывна на [a, b]

равномерно непрерывна на [a, b].

Доказано.

2. Равномерная сходимость и непрерывность суммы функционального ряда

Теорема 1. Если непрерывна, функциональный ряд сходится к то

Доказательство. Если частичные суммы, то также непрерывны и равномерно сходятся к

Утверждение теоремы 1 вытекает из теоремы 1.

Доказано.

3. Пространство . Его полнота

Множество непрерывных функций на отрезке - линейное пространство бесконечной размерности, в котором можно ввести норму для которой выполнены свойства:

1. 

2. 

3. 

Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Норма позволяет определить сходимость на [a, b]:

Последовательность функций называется фундаментальной, если Нормированное пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность является сходящейся, называется полным, или банаховым пространством (по имени С. Банаха).

Отметим, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, т.е. в полном пространстве сходимость эквивалентна фундаментальности, или в полном пространстве выполнен критерий Коши.

Покажем, что нормированное пространство является полным. Для этого рассмотрим сходимость в нём:

Итак, сходимость по норме пространства эквивалентна равномерной сходимости. Известно, что для равномерной сходимости выполнен критерий Коши. Это и означает, что пространство - полное.