2. Оптимальное байесовское

ОБНАРУЖЕНИЕ

2.1. Когерентное обнаружение детерминированного

сигнала в аддитивном белом шуме

Рассмотрим [1] обнаружение на интервале времени (от минус T до T) детерминированного (полностью известного) сигнала на фоне белого шума. Такое обнаружение называют когерентным, так как на приемном конце известны все параметры сигнала, в том числе и его начальная фаза. Белый шум является нормальным (гауссовским) случайным процессом с независимыми значениями.

Согласно [1], оптимальное правило обнаружения сигнала в принимаемом процессе (смеси сигнала и шума) имеет вид: принимается решение о наличии сигнала, если выполняется условие

, (2.1)

а иначе – об отсутствии сигнала, где

(2.2)

- энергия ожидаемого сигнала, - спектральная плотность мощности шума. Величина определяется критерием принятия решения в соответствии с табл. 2.1 [1], в которой - зависимость вероятности ложной тревоги от порога принятия решения, - заданный уровень вероятности ложной тревоги в критерии Неймана-Пирсона ()его значимость), и - априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала.

8

Таблица 2.1

Критерий	Величина
максимального правдоподобия	1
Неймана-Пирсона
максимума апостериорной вероятности

В дальнейших расчетах чаще всего будем использовать значение , при котором обеспечивается минимум вероятности ошибок [1].

Как видно, правило (2.1) предусматривает вычисление корреляционной функции (свертки) принимаемого случайного процесса с ожидаемым сигналом и сравнение ее значения с порогом, определяемым энергией сигнала и спектральной плотностью мощности шума. Устройство, определяющее интеграл в правой части (2.1) называют согласованным фильтром или коррелятором.

Нетрудно показать, что

, (2.3)

где - эффективная ширина спектра сигнала, - длительность сигнала, - отношение мощности сигнала к средней мощности шума (отношение сигнал/шум). В соответствии с теоремой В. А. Котельникова частота квантования сигнала равна , тогда для представления сигнала на интервале времени необходимо сформировать

(2.4)

отсчетов.

9

Вероятности ошибок обнаружения определяются выражениями:

вероятность ложной тревоги

, (2.5)

вероятность пропуска сигнала

. (2.6)

С учетом (2.3) и (2.4) получим

, (2.7)

. (2.8)

При вероятности ошибок практически одинаковы и равны

, (2.9)

. (2.10)

На рис. 2.1 показаны зависимости одинаковых при вероятностей ошибок от отношения сигнал/шум для раз-

10

личных значений числа отсчетов (времени наблюдения ).

Рис. 2.1

Как видно, если обнаружитель располагает всеми сведениями о сигнале и помехах, то он способен эффективно выявлять сигнал даже при небольших затратах времени (небольшом числе отсчетов).

2.2. Обнаружение квазидетерминированного

сигнала в аддитивном белом шуме

Квазидетерминированный сигнал [1] представляет собой случайный узкополосный процесс вида

, (2.11)

с известными медленно меняющимися амплитудой и фазой и неизвестной (случайной) начальной фазой . В частном случае при постоянной амплитуде и получим гармонический сигнал со случайной начальной фазой.

11

В [1] разработан оптимальный алгоритм квадратурной (некогерентной) обработки квазидетерминированного сигнала, для которого вероятности ошибок определяются выражениями:

вероятность ложной тревоги

, (2.12)

вероятность пропуска сигнала

, (2.13)

где величина

(2.14)

- из (2.3), - порог принятия решения, он выбирается исходя из выбранного критерия.

В соответствии с критерием максимального правдоподобия порог выбирается из уравнения

, (2.15)

а по критерию Неймана-Пирсона – соответственно из

, (2.16)

где - заданная величина (значимость критерия).

14

На рис. 2.2. представлены зависимости вероятностей ошибок (2.15) от отношения сигнал/шум при обнаружении квазидетерминорованного сигнала (сплошные линии) и для сравнения детерминированного сигнала (пунктир) для различных объемов выборки отсчетов. Как видно, неопределенность начальной фазы сигнала при его обнаружении значительно снижает помехоустойчивость или повышает время обнаружения (число отсчетов ).

Рис. 2.2

2.3. Энергетическое обнаружение

Алгоритмы когерентной (2.1) и некогерентной обработки сигнала используют информацию о его форме и параметрах, то есть речь идет о согласованной фильтрации сигнала, а не об энергетическом обнаружении.

Если форма сигнала неизвестна, то возможно лишь его энергетическое обнаружение. В этом случае удовлетворительной моделью сигнала является случайный процесс с известной интенсивностью и корреляционными (спектральными) свойствами – стохастический сигнал.

15

2.4. Характеристики оптимального параметрического

обнаружителя стохастического сигнала

В [1] рассмотрена задача обнаружения на интервале времени (от минус T до T) сигнала x(t) в виде нормального случайного процесса с заданной корреляционной функцией B_с() на фоне аддитивного нормального шума с корреляционной функцией B_ш(). Таким образом, сигнал и шум отличаются лишь спектральными (корреляционными) и энергетическими характеристиками. Ниже приводятся результаты анализа.

В качестве наблюдаемых некоррелированных координат выбираются величины

, (2.17)

где _k и _k(t) - собственные числа и собственные ненормированные функции линейного интегрального уравнения вида

(2.18)

Оптимальное решающее правило заключается в том, что сигнал обнаружен, если

, (2.19)

а иначе сигнал отсутствует, - пороговый уровень критерия (табл. 2.1), а N - объем выборки (число) обрабатываемых отсчетов. Как видно, реализуется энергетическое обнаружение сигнала с учетом корреляционных (спектральных) свойств сигнала и помехи.

16

Величины x_k представляют действующие значения «гармоник» сигнала при разложении его в ряд по ортогональным собственным функциям _k(t), а взвешенная сумма их квадратов характеризует энергию оптимально «отфильтрованного» сигнала, которая сравнивается с заданным поро-говым уровнем. Структура и свойства этого фильтра определяются различием корреляционных функций (спектров) сигнала и помехи. В общем случае решение поставленной задачи обнаружения наталкивается на серьезные математические трудности решения интегрального уравнения (2.18).

Ситуация облегчается, если рассматривается аддитивный белый шум со спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией

, (2.20)

где () - дельта-функция Дирака. Тогда

, (2.21)

_k - собственные числа линейного однородного интегрального уравнения

, (2.22)

а _k(t) - собственные функции, связанные с _k(t) равенством

. (2.23)

Как видно, форма собственных функций сохраняется и определяется лишь корреляционной функцией сигнала.

17

Для аддитивного белого шума решающее правило (2.19) принимает вид

. (2.24)

Если обозначить

, (2.25)

то согласно [1] вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала равны

, (2.26)

, (2.27)

где - мнимая единица.

В предельном случае, когда сигнал также является «белым шумом» и

, (2.28)

где - спектральная плотность мощности сигнала, из (2.21) следует

. (2.29)

18

В этом случае решающее правило принимает вид

, (2.30)

и заключается в вычислении оценки отношения энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума (левая часть неравенства) и сравнении ее с порогом ², зависящим от , и равным

. (2.31)

В этом случае вероятность ложной тревоги равна [1]

, (2.32)

а вероятность пропуска сигнала соответственно

. (2.33)

где - неполная гамма-функция от аргумента степени [1]. В пакете программ MathCAD функция обозначена как .

19

Для вычисления вероятностей ошибок при больших можно использовать приближенные выражения [1]

, (2.34)

, (2.35)

где - интегральная функция нормального распределения вероятностей (интеграл Лапласа) вида [1]

. (2.36)

Для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала по алгоритму (2.30), (2.31) необходимо располагать полной информацией о мощностях сигнала и шума.

На рис. 2.3 показаны зависимости порогового уровня (2.31) от отношения сигнал/шум

, (2.37)

равного отношению спектральной плотности мощности сигнала к спектральной плотности мощности шума . Кривые построены при пороге Рис. 2.3

(критерий идеального на-

блюдателя [1], при котором одинаковы вероятности ложной

20

тревоги и пропуска сигнала) для различных объемов выборки . На рис 2.4 приведены полученные для различных зависимости от отношения сигнал/шум вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала .

Рис. 2.4

На рис 2.5 приведены полученные для различных зависимости от объема выборки тех же вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала. Как видно, помехоустойчивость алгоритма энергетического обнаружения сигнала (2.30), (2.31) повышается с ростом отношения сигнал/шум и объема выборки отсчетов .

Рис. 2.5

21

Проанализируйте вид кривых на рис. 2.2 и рис. 2.3, дайте им необходимую физическую интерпретацию. Напишите программу расчета вероятностей ошибок.

2.5. Сравнительный анализ помехоустойчивости алгоритмов обнаружения

На рис. 2.6 приведены зависимости вероятностей ошибок и от отношения сигнал/шум для различного числа отсчетов .

Рис. 2.6

Цифрами 1, 2 и 3 (в кружках) обозначены вероятности

22

ошибок для различных моделей сигналов соответственно:

- когерентного обнаружения детерминированного сигнала в аддитивном белом шуме - цифра 1;

- обнаружения квазидетерминированного сигнала в аддитивном белом шуме – цифра 2;

- оптимального параметрического обнаружителя стохастического сигнала – цифра 3.

На рис. 2.7 приведены зависимости тех же вероятностей от числа обрабатываемых отсчетов для различных отношений сигнал/шум.

Рис. 2.7

Как видно, вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала для критерия идеального наблюдателя падают с ростом отношения сигнал/шум и числа отсчетов сигнала (времени обнаружения).

Вероятности ошибок сильно зависят от априорной информации о свойствах сигнала. При полностью известном сигнале (цифра 1) обеспечиваются наименьшие вероятности ошибок. При отсутствии сведений о начальной фазе принимаемого сигнала (цифра 2) помехоустойчивость значительно ухудшается, а для стохастического сигнала вероятности ошибок возрастают еще больше.

На рис. 2.8 представлены зависимости числа отсчетов

23

, необходимого для обнаружения сигнала с заданными вероятностями ошибок , от отношения сигнал/шум.

Рис. 2.8

Из приведенных зависимостей следует, что необходимое число отсчетов (время обнаружения) значительно повышается при сокращении сведений о параметрах и форме сигнала, особенно в области малых отношений сигнал/шум. Это же относится и к характеристикам шума.

2.6. Объем выборки

Характеристики процедуры обнаружения существенно зависят от числа N обрабатываемых отсчетов. При неограниченном увеличении N вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала снижаются до нуля.

Если сигнал и помеха представляют собой белый шум с неограниченным спектром, то для заданного интервала обнаружения t_обн= 2T можно выбрать любое значение N (соседние отсчеты независимы при сколь угодно малом временном интервале между ними). Из общих соображений объем выборки независимых отсчетов сигнала с ограниченным спектром равен числу степеней свободы в виде произведения ширины спектра f_с в герцах на время обнаружения ,

24

, (2.37)

где величину B_обн целесообразно назвать базой обнаружения.

Для стохастического сигнала с ограниченным спектром мощности, то есть с заданной корреляционной функцией B_с(), и с аддитивным белым шумом объем N выборки обрабатываемых координат при фиксированном t_обн ограничен и определяется свойствами интегрального уравнения (2.18). В математике оно известно как однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции (t) [3] вида

, (2.38)

где K(t,x) называют ядром, а  - собственным значением уравнения. Собственные числа _k согласно (2.21) определяют значения _k уравнения (2.18) и их количества одинаковы. Если ядро K(t,x) = B_с() непрерывно и симметрично, то существует по крайней мере одно собственное значение уравнения (2.38), все они действительны, их множество счетное и в общем случае неограниченно [3].

Введем обозначения K₁(t,x) = K(t,x) и n-го итерированного ядра K_n(t,x) в виде

, (2.39)

а также

, (2.40)

Наименьшее собственное значение ₁ оценивается неравенством

25

, (2.41)

границы которого смыкаются для нарастающих значений n.

Для каждой непрерывной функции u(x), удовлетворяющей условию

, (2.42)

имеет место неравенство

. (2.43)

Приведенные соотношения позволяют оценить минимальное собственное число ₁.

Согласно [3], для положительно определенного ядра K(t,x) уравнения Фредгольма, то есть при выполнении условия

, (2.44)

для любой непрерывной функции u(x), имеет место равенство

, (2.45)

а все собственные числа _k положительны (_k > 0) и K(x,x)  0.

Корреляционная функция B_с(t-) является [1] положительно определенным ядром интегрального уравнения (2.22) и к нему применимы все отмеченные свойства уравнения Фредгольма. Вся совокупность собственных чисел _k удовлетворяет

26

приведенным в [3] соотношениям, которые с учетом (2.45) можно записать в виде

(2.46)

при n = 1, 2, 3, 4... . Уравнения (2.46) позволяют определять собственные числа интегрального уравнения Фредгольма при конечном их количестве, однако с ростом пропорционально возрастает кратность интеграла в правой части (2.46), что существенно затрудняет его вычисление уже при .

Согласно (2.21) весовые коэффициенты входящих в решающее правило координат x_k уменьшаются с ростом собственных чисел _k. Тогда наиболее значимыми оказываются минимальные значения _k, близкие к ₁.

Обозначим интеграл в правой части (2.46)

. (2.47)

Итерированное ядро K_n(x,y) является симметричной функцией переменных в плоскости x - y = 0, K_n(x,y) = K_n(y,x).

В качестве примера рассмотрим обнаружение сигнала с нулевым средним и экспоненциальной корреляционной функцией

, (2.48)

где _с² - дисперсия сигнала,  - коэффициент затухания корреляционной функции. Подставив (2.48) в (2.22), вводя нормированное время

(2.49)

и нормированные собственные числа вида

27

, (2.50)

получим ядро интегрального уравнения Фредгольма (2.38)

. (2.51)

На рис. 2.9 показаны зависимости K_n(x,0) от первой переменной . Как видно, итерированные ядра - монотонно затухающие функции, охватывающие друг друга по мере увеличения номера .

Рис. 2.9

В плоскости двух переменных зависимость K_n(x,y) при n = 2 показана на рис. 2.10. Подобная «трубообразная» зависимость вдоль прямой y=x с «сечением» вида рис. 2.9 в интервале изменения аргументов от a до b имеет место и при других n. Величины V_n в (2.40) представляют собой объем под поверхностью K_n²(x,y), подобной рис.2.10, который пропорционален (b-a), тогда приближенно

, (1.52)

28

и верхняя граница минимального собственного числа ₁ вида (2.50) из (2.41) не зависит от пределов интегрирования a = -T и b = T.

Рис. 2.10

Расчеты при T = 20 показывают, что для ядра (2.51) имеют место неравенства

, (2.53)

из которых следует, что 0,387 < ₁ < 0,569. Оценка (2.43) в тех же условиях приводит к неравенству ₁ < 0,667, что согласуется с предыдущим. Таким образом, ориентировочно можно принять ₁ = 0,5.

Оценку спектра собственных значений можно получить на основе соотношений (2.46) с учетом обозначения (2.47). Подынтегральная функция K_n(x,x) в (2.47) имеет почти прямоугольный вид в промежутке от a = -T до b = T, как пока-

29

зано на рис.2.11 при n=2 и T=20. Постоянный уровень внутри интервала (a - b) определяется величиной K_n(0,0). Тогда S_n (2.46) можно приближенно представить в виде

, (2.54)

где K_n(0,0) определяется корреляционной функцией сигнала.

Рис. 2.11

Примем в качестве гипотезы выражение для _k

(2.55)

при k=1, 2, 3 ... . Тогда нетрудно показать, что

. (2.56)

Параметры ₁ и q можно определить из первых двух уравнений (2.40) при n = 1 и n =2,

(2.57)

30

в результате

, (2.58)

. (2.59)

Для рассматриваемого примера корреляционной функции (2.48) получим K₁(0,0) = K₂(0,0) =1, тогда с учетом (2.54) из (2.58) и (2.59) при S₁= S₂=40 найдем зависимости ₁ и q от T, показанные на рис. 2.12а и рис. 2.12б соответственно. На рис. 2.12в приведена зависимость собственных чисел _k от их номера k для гипотезы (2.55).

Рис. 2.12

31

При T = 20 из (2.47) вычислим следующие значения S_n : S₁=40, S₂=40, S₃=60, S₄=100. Гипотеза (2.55) в соответствии с (2.56) дает S₁=40, S₂=40, S₃=53, S₄=80. Как видно, фактические величины собственных чисел _k нарастают несколько медленней показательной функции (2.55) или рис. 2.12в.

Согласно (2.50) собственные числа _k интегрального уравнения (2.22) равны

(2.60)

при подстановке (2.55) - (2.57). С их помощью из (2.25) - (2.27) могут быть найдены вероятности ложной тревоги и про-

пуска сигнала . Такая громоздкая и приближенная методика расчета нуждается в упрощении.

Положим, что

(2.61)

тогда количество собственных чисел N можно определить из (2.46) при n=1, приняв согласно (2.54) S₁=2T,

. (2.62)

Параметр  для корреляционной функции (2.48) на основании вышеизложенного целесообразно принять равным

, (2.63)

тогда из (2.62) получим

. (2.64)

32

Из (2.60) с учетом (2.61) собственные числа _k уравнения (2.22) равны

(2.65)

В этом случае можно воспользоваться результатами (2.28) - (2.33) для сигнала в виде белого шума, полагая его спектр равномерным в заданной полосе частот, определяемой корреляционной функцией B_c(). Энергетический спектр сигнала F() для B_c() вида (2.48) равен [1]

. (2.66)

Определим ширину спектра сигнала f_с в герцах [1] с учетом (2.66),

. (2.67)

Тогда объем выборки отсчетов N с учетом t_обн = 2T равен

, (2.68)

что согласуется с известными результатами (теоремой Котельникова).

С другой стороны ширину спектра можно определить как диапазон частот, в котором сосредоточена заданная часть 0<a<1 мощности сигнала,

33

, (2.69)

откуда следует

. (2.70)

Зависимость f_c/ от выбранной доли энергии a показана на рис.2.13. Как видно, выражение (2.67) при f_c/=0.25 соответствует a=64%, что представляется явно заниженной оценкой. При обеспечении 90% мощности приближенно получим

f_c=, что в четыре раза больше (2.67). В этом случае из (2.64) следует

. (2.71)

Неопределенность в величине ширины спектра сигнала соизмерима с влиянием погрешности оценки собственных чисел интегрального уравнения. Это приводит к целесообразности выбора оценки числа отсчетов сигнала согласно (2.37), тогда

Рис. 2.13 . (2.72)

Если сигнал является белым шумом то для его спектральной плотности мощности получим

(2.73)

34

В среднем целесообразно принять f_c=, тогда

. (2.74)

Таким образом, для анализа характеристик энергетического обнаружения сигналов в виде нормального случайного процесса с равномерным спектром в заданной полосе частот на фоне белого шума можно использовать соотношения (2.32) и (2.33), где объем выборки N определяется (2.72), а спектральная плотность мощности сигнала - соотношением (2.74).

При сравнительном анализе энергетической скрытности различных сигналов отношение объемов выборки будет слабо зависеть от выбора меры ширины спектра и собственных чисел.

35