2.3. Простой пример

Чтобы решить задачу об остывании кофе в разд. 2.5, применим метод Эйлера для нахождения численного решения дифференциального уравнения dy/dx = 2х с начальным условием у = 1 в точке х = 1. Мы хотим: найти приближенное значение функции у в точке х = 2. Выбираем = 0.1, тогда число шагов равно n = (2 - 1)/ = 10. Если после проведения вычислений окажется, что выбранная величина приращения слишком велика, нам придется повторить вычисления с меньшим значением .

Результат вычислений можно представить в виде табл. 2.1. В точке х = 1 определяется наклон касательной g(x) = 2х = 2. Значение функции у в конечной точке отрезка y₁ вычисляется из значения функции у в начальной точке отрезка y₀ по формуле

1+0,1(2)= 1,2 (2.3)

Полученное значение у₁ переносится во вторую строку табл. 2.1 и процесс повторяется. Проделав вычисления, получим у = 3.90 в точке х = 2. Отклонение от точного решения у = хг = 4 составляет 2,5%. Убедитесь в том, что выбор меньшего значения приращения повышает точность решения и составьте новую табл. 2.1, используя значение шага = 0.05.

ТАБЛИЦА 2.1. Итерационное решение дифференциального уравнения dy/dx = 2х с начальным условием у = 1 при х = 1. Шаг = 0.1. Показаны три значащие цифры

2.4. ПРОГРАММА ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА

Теперь, когда с помощью метода Эйлера получено численное решение дифференциального уравнения, мы в состоянии сформулировать этот метод в виде алгоритма для компьютера, т.е. конечной последовательности четких шагов или правил, которая решает задачу. Затем мы будем разрабатывать программу, реализующую этот алгоритм. Метод Эйлера описывается следующим алгоритмом:

1. Выбираются начальные условия, величина шага и количество итераций.

2. Определяется у и наклон в начальной точке отрезка.

3. Вычисляется значение у в конечной точке отрезка и печатается результат.

4. Шаги 2 и 3 повторяются требуемое число раз.

Приступая к разработке программы, первым делом необходимо разбить всю задачу на последовательность независимых заданий, соответствующих вышеприведенным шагам.¹

….

2.5. Программа для решения задачи об остывании кофе

Вернемся к нашей чашечке кофе и разработаем компьютерную программу для численного решения уравнения теплопроводности Ньютона. Чтобы определить, разумна ли наша модель понижения температуры, приведем экспериментальные данные для остывания настоящей чашки кофе (табл. 2.2).

ТАБЛИЦА 2.2. Остывание чашечки кофе, помещенной в керамический стакан. Температура регистрировалась с точностью 0.1 С. Температура окружающего возду­ха равнялась 22.0 С

Время, мин	Т, °С	Время, мин	Т, °С
0	83.0	8.0	64.7
1.0	77.7	9.0	63.4
2.0	75.1	10.0	62.1
3.0	73.0	11.0	61.0
4.0	71.1	12.0	59.9
5.0	69.4	13.0	58.7
6.0	67.8	14.0	57.8
7.0	66.4	15.0	56.6