8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряд   и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю:  . Причём, убывают монотонно.

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

9. Степенные ряды. Теорема н. Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида:

где aи коэффициенты а₀,… ,а_n – постоянный.

При а=0 степенной ряд примет вид:

Определение 2.Совокупность значений x, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимостью степенного ряда.

Теоремы Абеля.

Теорема. Если степенной ряд   сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех  .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

10. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную  , искомую функцию  и её производные  , т. е. уравнение вида

Если искомая функция  есть функция одной независимой переменной  , дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,

Когда искомая функция  есть функция двух и более независимых переменных, например, если  , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь  — неотрицательные целые числа, такие, что  ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение  — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение  , где  — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение  — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале  называется функция  , определенная на интервале  вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции  в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по  на  . Например, функция  является решением уравнения  на интервале  . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения  и  в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

11. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение   называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

 .

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям 

Получаем: 

12. Однородные дифференциальные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение  называется однородным, если функция  и  являются однородными одинакового порядка.

Пусть функции  и  одинакового порядка k. Это означает, что  и  для любого  . Рассмотрим выражение

Согласно это означает: если дифференцированное уравнение является однородным, то после замены в нем x через  и y через  оно не изменяется. Этот вывод может служить критерием проверки дифференциального уравнения на однородность.