4.Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  , такая что  .  Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения.  Тогда  . Число   заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между mи M. Таким образом, существует точка  , такая что  .  Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка   такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

5. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Интеграл с переменным верхним пределом

 

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция  f ( x ), тогда для любого x   [ a, b ] существует функция:   

 

задаваемая  интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

 

На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x   [ a, b ]

 

F' ( x ) = f ( x ) .

Теорема (Барроу):

Пусть   и непрерывна в  . Тогда   дифференцируема в этой точке и её производная равна  .

Доказательство:

Приращение   при   в силу непрерывности в точке   выполняется  Рассмотрим  . По первому утверждению получаем  Устремляя  , получаем

Важное следствие

Утверждение:

Пусть   — непрерывна на  . Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.

В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу   — одна из первообразных. Значит, неопределённый интеграл существует.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (формула Ньютона-Лейбница):

Пусть   дифференцируема на  , её производная   интегрируема на этом же отрезке. Тогда

Доказательство:

Так как   — интегрируема, то   равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для  . Поэтому, если   — разбиение  , то . Так как   дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим: , следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая — постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.

Следствие

Объединяя эту теорему со следствием к теореме Барроу получаем следующий факт:

Утверждение:

Пусть   — непрерывна на  ,   — одна из первообразных. Тогда

Формулы ]Вычисление определенного интеграла по частям

6.Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции  , то  .  Док-во. Мы установили, что функция   - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как  , то  . В равенстве   переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно,  .  Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:   (здесь   читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:  .  Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:  .