2. Жазықтыққа көлбеудің табаны арқылы оның проекциясына перпендикуляр тұрғызылған түзу сол көлбеудің өзіне де перпендикуляр болады.

Егер жазықтықтағы түзу көлбеуге перпендикуляр болса, онда сол түзу көлбеудің проекциясына да перпендикуляр болады.

Егер түзу жазықтықта жататын өзара қиылысқан екі түзуге перпендикуляр болса, онда бұл түзу жазықтыққа перпендикуляр болады.

№3 билет

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу және формуласы

Айнымалысы тригонометриялық функция таңбасының ішінде болатын теңдеу тригонометриялық теңдеу деп аталады.

sin x = а, , cos x= а , tg x= а, ctg x=a түрінде берілген теңдеу қарапайым тригонометриялық теңдеу деп аталады.

Берілген теңдеуді тура тепе –теңдікке айналдыратын аргументтің барлық мәндерін табу.

y=arcsin x, y= arccos x.

6 Жолы бар:

Тригонометриялық функциясының бір ғана түрлерімен берілген, алгебралық теңдеулерге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер

Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер

Функциялардың дәрежесін төмендету арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер.

Біртектес тригонометриялық теңдеулерді шешу

Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу.

2-сұрақ

Дұрыс көпжақтар

Егер көпжақтың жақтары қабырғаларының саны бірдей дұрыс көпжақтар болса және көпжақтың әрбір төбесінен шығатын қырларының саны бірдей болса, онда оны дұрыс көпжақ деп атайды.

Дөңес дұрыс көпжақтың бес түрі болады: дұрыс тэтраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Куб — 6 жағы, 12 қыры, 8 төбесі бар дұрыс көпжақтың бес типінің бірі. Кубты кейде гексаэдр деп те атайды. Кубтың жақтары квадрат болады, әрбір төбесінде 3 қыры түйіседі. Қыры а болатын кубтың беті 6а2, ал көлемі а3 болады. Куб - а санының кубы – а санының үшінші дәрежесі, яғни а1ха2ха3=а3 көбейтіндісі; қыры а-ға тең болатын кубтың көлемі осылай өрнектелетіндігіне байланысты, бұл көбейтінді “куб” деп аталады. Әрі куб көлемнің өлшем бірлігі болады.

Икосаэдр – дұрыс көпжақтардың бірі; оның 20 жағы, 30 қыры, 12 төбесі (әрбір төбеде 5 қыры түйіседі) болады.

Октаэдр – бес дұрыс көпжақтың бір түрі. Оның 8 жағы, 12 қыры, 6 төбесі (әрбір төбесінде 4 қыры түйіседі) бар. Егер а октаэдрдың қырының ұзындығы болса, онда оның көлемі формуласымен анықталады. Кристаллографияда октаэдр кубтық жүйенің

қарапайым түрі болып саналады. Алмас, магнетит, шпинель, т.б. минералдар октаэдр пішінінде кристалданады. Октаэдр атауын Теэтет (б.з.б. 4 ғ.) енгізген.

“Эдра”-”жақ” деген ұғымды береді. “Тетра” - төрт, “Гекса” – алты, “Окта” – сегіз, “Икоса” – жиырма, “Додека” – он екі. Дұрыс көпжақтардың пішінділері табиғи кристалдарда кездесіп отырады, мысалы, ас тұзының (NaCl) монокристалы – куб, алюмокалиевті квасцалардың (KAISO4)2*12(Н2О) монокристалы – октаэдр. Пирит (FeS) кристалдарына үқсастыру арқылы ежелгі гректер додекаэдрдің пішінін білген деген болжам бар.

№4 билет

1. Туынды табудың ережелері. Дифференциалдау формулалары.

Туынды – дифференциалдық есептеулердің х аргументі өзгерген кездегі f(x) функциясының өзгеру жылдамдығымен сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген х үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция Туынды деп аталады және y΄, f΄(x), түрінде белгіленеді. Туындысы бар функция үзіліссіз. Берілген аралықтың барлық нүктелерінде Туындысы болмайтын үзіліссіз функциялар да болады.

2) Түзу мен жазықтықтың паралельдігі.

Жазықтық - геометрияның негізгі ұғымдарының бірі, ол аксиомалармен анықталып қабылданады.Ж-тың жалпы (толық) теңдеуі былай өрнектеледі: Ax+By+Cz+D=0, мұндағы A, B, C, D — тұрақтылар.

Түзу сызық – геометрияның негізгі ұғымдарының бірі. Геометрияның жүйелі түсіндірмелерінде түзу сызық әдетте тек қана геометрияның аксиомаларымен жанама түрде анықталған бастапқы ұғымдардың бірі деп есептеледі. Егер геометрияны құрудың негізі болып кеңістіктегі нүктелердің ара қашықтығы алынса, онда түзу сызықты екі нүктенің арасындағы ең қысқа сызық ретінде анықтауға болады. Түзу сызық – декарттық координаттар жүйесіндегі 1-ретті алгебралық сызық. Ол жазықтықта 1-дәрежелі теңдеу (сызықтық теңдеу) арқылы беріледі. Түзу сызықтың жалпы теңдеуі Ах+Ву+С=0 түрінде жазылады, мұндағы А, В, С – кез келген тұрақты сан, А мен В бір мезгілде 0-ге тең болмайды. Егер коэффициенттердің біреуі 0-ге тең болса, онда теңдеу толық емес деп аталады.

№5 билет

1)Анықтама. Негізі 10 болатын санның логарифмі ондық логарифм деп аталады.

Ондық логарифмді жазу үшін lg белгісі қолданылады. Мысалы, орнына lg 217; орнына lg 9 деп жазылады.

Ондық логарифнің өзіне тән үш қасиеті бар:

1. Бір саны және одан кейінгі нөлдерден тұратын оң санның ондық логарифмі нөлдердің санына тең бүтін оң сан болады, яғни , болса, онда lg =n;

2. Бір саны және оның алдындағы нөлдерден тұратын оң ондық бөлшектің ондық логарифмі n болады (мұндағы n нөл бүтінді қоса алғандағы нөлдердің санына тең), яғни болса, онда lg =-n;

3. 10 санының бүтін немесе нөлінші дәрежеге тең емес рационал санның ондық логарифмі иррационал сан болады.

Мысалы, lg3, lg7, lg0,34,lg15 – иррационал сандар.

Анықтама. Негізі е болатын санның логарифмі натурал логарифм деп аталады.

Натурал логарифм – ln белгісі қолданылады. Мысалы, орнына ln13 деп жазылады.

2-сұрақ

Анықтама. Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп санды атайды және былай белгілейді:

=а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Мысал. Мына анықтауышты есептеу керек

=

Екінші ретті анықтаушты есептеу үшін оның негізгі диоганал элементтерінің көбейтіндісінен, яғни а₁₁ а₂₂ көбейтіндіден қосалқы диоганал элементтернінің көбейтіндісін, яғни а₂₁ а₁₂ көбейтіндіні, алсақ жеткілікті. Сонымен, екінші ретті анықтауыштың есеттеуіндегі әр қосылғыш, осы анықтауыштың екі элементінің көбейтіндісінен анықталған және көбейтіндідегі көбейткіш анықтауыштың тік және жатық жолдарының тек бір ғана элементінен анықталған.

Үшінші ретті анықтауыш туралы түсінік.

Анықтама. Үш ретті квадрат матрицаға сәйкесті үшінші ретті анықтауыш деп

а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂ санын атап, мына симвро арқылы белгілейді:

= а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂

Анықтауыштың қасиеттері.

1. Анықтауыштың жатық жолдарын оның сәйкес тік жолдарымен орын алмастырғаннан ол анықтауыштың сан мәні өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың қандай болса ды бір жатық жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

3. Егер анықтауыштың екі жатық жолын бірі мен бірің орындарынан алмастырсақ, ондаанықтауыш таңбасы қарама қарсы таңбаға ауады.

4. Егер анықтауыштың кез келген екі жатық жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.

5. Егер анықтауыштың қандай болса ды бір жатық жолыеың барлық эоементтерін бір ғана санына көбейтсек, онда анықтауыштың өзі осы санына көбейтіледі.

Екінші ретті анықтауыштағыдай үшінші ретті анықтауыш үш жақтың және үш жолдан тұрады. а₁₁ , а₂₂ , а₃₃ , а₁₃, а₂₂ , а₃₁ – қосалқы диоганалының элементтері.

Үшінші ретті анықтауышты есептеу үшін үшбұрыштар немесе Сарюс ережесі деп аталатын төмендегі схеманы еске сақтаған тиімді. Үшінші ретті анықтауыштың есептелуіндегі плюс таңбасымен алынған бірінші үш қосылғыш «+» схема, ал минус таңбасымен алынған екінші үш қосылғыш «-» схема бойынша есептеледі.

Анықтауыштар арқылы теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу әдісін Крамер ережесі деп атайды. Ол мына формулалар:

№6 билет

1. Тригонометрияның негізгі формулалары.

2. Көпжақтар және оның элементтері. Тік және дұрыс призма.