2.1. Индивидуальное задание по решению нелинейных уравнений Найти корни уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCad и реализовать алгоритм решения нелинейного уравнения методом:
Деления отрезка пополам (первое уравнение)
хорд (второе уравнение)
касательных (третье уравнение)
Д
ля
реализации алгоритма решения нелинейного
уравнения 3 методами взять любой из
корней уравнения, выбрать отрезок
локализации длиной l=0.6,
содержащий только один корень (использовать
график функции) и выполнить не менее 4
итераций по приближению к корню уравнения.
Полученные результаты сопоставить с
решением, полученным с использованием
функции root.
2.2. Нахождение корней уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD.
Чтобы найти корень уравнения, необходимо задать начальное значение неизвестной и затем использовать функцию root, формата root (выражение, имя переменной).
Для того, чтобы найти все корни уравнения, необходимо локализовать (отделить) отрезки, содержащие по одному корню уравнения. Эту операцию удобно выполнить графически, а затем с помощью функции root найти все корни, указав начальные приближения в соответствии с локализованными отрезками.
Н
апример,
при нахождении корней уравнения для
приведенного ниже графика можно указать
в качестве начальных приближений
значения переменной X=-0.7
и X=1.1.
А функция root
найдет ближайшие к начальным приближениям
значения корней с заданной точностью.
Рис 2.1
2. 3. Метод деления отрезка пополам
Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].
Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) <0.
Для
нахождения корня отрезок [ab]делим
пополам
.
Рис 2.2
Если
,
то
является корнем уравнения.
Если
,
то выбираем тот отрезок [aс]
или [сb]
на концах которого функция f(x)
имеет противоположные знаки.
Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.
В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.
2.4. Метод хорд
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
Рис 2.3
Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a,b] хордой, проходящей через точки [a,f(a)], [b,f(b)].
Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.
Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c,f(c)], [b,f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.
Математическая формула
Уравнение прямой, проходящей через две точки [a,f(a)], [b,f(b)].
Точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] с осью X есть
Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a,c] or [c,b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.
2.5. Метод касательных
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
Уравнение касательной в точке имеет вид
При пересечении оси X Y = 0
Выражая из формулы xn+1, получим расчетную формулу
Рис 2.4
Преимущества метода – быстрая сходимость
Недостаток – требует вычисления производной.