26. Методы вычисления определенных интегралов. Метод замены переменной

Ответ:

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что ∫d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаем соотношение

называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=e^x, dV=xdx. Тогда   и     Вряд ли интеграл ∫x²e^xdxможно считать проще исходного.  Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла ∫x²sin(x)dx.

В интегралах ∫P_n(x)cos(ax)dx, ∫P_n(x)sin(ax)dx, ∫P_n(x)e^axdx, где P_n(x) - некоторый полином (многочлен) степени n, обычно полагают U(x)=P_n(x), dV(x)=cos(ax)dx.  Интегралы ∫e^axcos(bx)dx и ∫e^axsin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

ПРИМЕР №1. Вычислить ∫xe^xdx.  Положим U=x, dV=e^xdx. Тогда dU=dx, V=e^x. Поэтому ∫xe^xdx=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C.

ПРИМЕР №2. Вычислить ∫xcos(x)dx.  Полагаем U=x, dV=cos(x)dx. Тогда dU=dx, V=sin(x) и ∫xcos(x)dx=xsin(x) -∫sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

30. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Ответ:

Уравнение F(x,y,y`)=0, где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Дифференциальные уравнения f(y)dy=g(x)dx называются уравнением с разделенными переменными. Названием этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

31. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Ответ:

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x0, y0) , x0∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y(x) = u(x) · v(x).