22. Метод непосредственного интегрирования

Ответ:

Этот прием интегрирования применяется в том случае, если интеграл табличный или легко сводится к одному или нескольким табличным, путем использования свойств подынтегральной функции или следующих правил интегрирования:

∫kf(x)dx=k ∫f(x)dx

∫(f(x)±φ(x))dx= ∫f(x)dx± ∫ φ(x)dx

23. Метод подстановки

Ответ:

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно лёгко берётся непосредственно.

Пусть дан интеграл   ∫f(x)dx, который не является табличным.

Записываем уравнение замены

y=y(x)

Находим дифференциал этой функции

 dy=y’(x)dx

Выражаем

 dx=(dy)/(y’(x)).

Подставим в данный интеграл:

∫f(x)dx= ∫g(y)dy

Находим

 . ∫g(y)dy=F(y)+C

Чтобы получить окончательный ответ, вместо переменной y подставляем y(x) выражение:

∫f(x)dx+F(y(x))+C

24. Метод интегрирования по частям

Ответ:

Формула интегрирования по частям имеет вид:

òudv=uv-òvdu.

Выведенная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении в подынтегральном выражении в левой части выделяют два сомножителя –u и dv. При переходе к правой части первый сомножитель u дифференцируется (при нахождении du= u'dx), а второй интегрируется (v =òdv + С). Формулу применяют, если дифференцирование существенно упрощает один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложняет другой).

25. Определенный интеграл, его основные св-ва, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница

Ответ:

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где a≠b) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись: ∫f(x)dxba

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

∫f(x)dxaa

2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. ∫f(x)dxba=∫f(t)dtba

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

∫f(x)dxba=-∫f(x)dxba

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

∫kf(x)dxba=k∫f(x)dxba

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x)

Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

∫f(x)dxba=F(b)-F(a)

F - первообразная для f(x)

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b]. Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).