6.2. Электрическое поле заряженного проводника

Рассмотрим, что происходит в проводнике, если его зарядить. В незаряженном состоянии количество положительных зарядов проводника равно количеству отрицательно заряженных свободных электронов. При сообщении металлическому проводнику избыточного положительного заряда, проводнику не хватает свободных электронов, а при сообщении металлическому проводнику отрицательного заряда – возникаетих избыток.

Нанесенные на проводник заряды, распределяются таким образом, чтобы выполнялось условие равновесия, для этого и электрическое поле внутри проводника должно стать равным нулю.

.

При этом избыточные заряды в состоянии равновесия распределяются по проводнику только по его внешней поверхности.Этотфакт можно объяснить, применив теорему Гаусса. Выберем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S(рис.6.4) и рассчитаем поток вектора через эту поверхность в условиях равновесия. Запишем теорему Гаусса.

Рис.6.4.

Учитывая то, что связанных зарядов в проводнике не возникает (q' =0) и поле, как следует из приведенных выше рассуждений, должно быть равно нулю , можно утверждать, что интеграл в левой части теоремы должен быть равен нулю

т.е. внутри такой поверхности избыточного заряда нет и весь заряд располагается только на внешней поверхности проводника.

6.3. Распределение заряда по поверхности проводника

Из условия равновесия заряда на поверхности проводника следует, что потенциал как внутри проводника, так и во всех точках поверхности проводника одинаков. Действительно, поскольку поле внутри проводника отсутствует, то работы при перемещении заряда внутри проводника или из любой точки на поверхность проводника не совершается. Таким образом, и поверхность проводника и объем проводника являются эквипотенциальными.

Из того, что потенциал одинаков, следует, что распределение избыточного заряда по внешней поверхности проводника является неравномерным. Модуль вектора и поверхностная плотность заряда σ больше в тех точках поверхности проводника, где ее кривизна больше. Кривизну поверхности в какой-либо ее точке можно определить радиусом R вписанной вблизи этой точки сферы, а именно, кривизна поверхности обратно пропорциональна R. Рассмотрим два достаточно удаленных друг от друга шара радиусами и соединены тонким проводом. Если один из зарядов зарядить, то полученный заряд растечется по всей поверхности системы и потенциалы шаров станут одинаковыми. Полем соединительного провода можно пренебречь, т.к. шары расположены далеко друг от друга.

или ,

Где и - заряды шаров.Заряды можно выразить через поверхностную плотность зарядов и , получаем

и ,

тогдаполучим

.

Видно, что при различной кривизне поверхности плотность заряда различная.

Потенциал и напряженность поля на поверхности сферы определенного радиусаRимею вид:

.

Видно, что поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности, а модуль напряженности поля прямо пропорционален поверхностной плотности заряда σ в этой точке.

Рис.6.5

На (рис. 6.5.) приведена картина силовых линий электрического поля заряженного проводника сложной формы. Линии вектора напряженности перпендикулярны к поверхности металла в каждой точке, поскольку она является эквипотенциальной.

Поверхностная плотность заряда там больше, где кривизна поверхности больше, поэтому напряженность поля большей там где более острые выступы или у краев проводника, там большая плотность заряда.

Вблизи острия модуль вектора может быть таким сильным. что превысит значение, соответствующее ионизации молекул воздуха (Е_иониз≈310⁶В/м при атмосферном давлении). При этом возникает явление стекания зарядов с проводника. Образующиеся в результате ионизации, ионы под действием сил поля приходят в движение. Ионы того же знака, что и заряд проводника удаляются от острия, увлекая за собой молекулы воздуха, образуя так называемый электрический ветер. Заряды другого знака движутся к острию, частично нейтрализуя заряд острия, из-за чего поле около острия ослабляется равновесие зарядов на проводнике нарушается и к острию подходят заряды с других участков поверхности проводника. Это движение продолжается до тех пор, пока модуль напряженности электрического поля вблизи острия будет превышать Е_иониз.

Повзнер А.А., Валишев М.Г. Курс общей физики. СПб.: Издательство «Лань». 2009.576 стр.

Физика: Электростатика и постоянный ток. Модуль № 3. Конспект лекций /М.Г. Валишев, А.А. Повзнер. Екатеринбург: ООО "Изд-во УМЦ УПИ", 2004. 52 с.

Овчинников В.А. Общая физика, часть 2. Учебное пособие, Издание УПИ, 1975г. 247 с.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Почему электрическое поле проводника внесенного во внешнее электрическое поле равно нулю?

2. Почему избыточные заряды в состоянии равновесия распределяются по проводнику только по его внешней поверхности?

3. Почему потенциал как внутри проводника, так и во всех точках поверхности проводника одинаков?

Лекция7. Электропроводность проводников и полупроводников

7.1. Классическая теория электропроводности

Классическая теория электропроводности – теория Друде–Лоренца рассматривает свободные электроны в металле, как идеальный газ и применяет к нему основные положения молекулярно-кинетической теории.

Высокая электропроводность металлов обусловлена высокой концентрацией в них носителей тока – электронов проводимости, порядка 10²⁸ - 10²⁹м^-3. В отсутствие электрического поля электроны проводимости движутся хаотически, поэтому электрического тока не возникает. Средняя кинетическая энергия теплового движения электронов проводимости определяется по уравнению:

,

где m– массаэлектрона проводимости; –средняяквадратичная скорость электрона проводимости.

Электрический ток в металле возникает под действием электрического поля, которое вызывает направленное, т.е. упорядоченное, движения носителей тока. Направлено это движение всегда против поля, т.к. заряд электрона отрицательный, а за направление тока и вектора плотности тока принято направление движения положительных зарядов. Запишем уравнение для плотности тока проводимости через поперечное сечение проводника площадью S (Рис.7.1).

Рис.7.1.

,

Оценим величину скорости направленного движения электронов при самых больших допускаемых в эксплуатации значениях плотности тока,

Таким образом, средняя скорость направленного движения электронов много меньше, чем скорость их теплового движения. Но именно скорость направленного движения обеспечивает наличие тока в проводнике.

При своем движении электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки (ионами), которые совершают тепловые колебания около положений равновесия. Cредняя длина свободного пробега электрона (расстояние, которое преодолевает электрон между двумя последовательными столкновениями), в классической теории, равна расстоянию между узлами кристаллической решетки (параметру решетки), что составляет порядка 10^-10 м.

Классическая теориясчитает, что соударение электронов проводимости с узлами решетки происходит по типу неупругого удара. Электроны, в таком случае, теряют всю энергию, которую они приобрели при направленном движении под действием электрического поля (Рис.7.2).

Рис.7.2.

На основе представлений классической теории оказалось возможным объяснить закон Видемана-Франца-Лоренца, объяснить эффект Холла, возникновение контактной разности потенциалов, явление термоэлектронной эмиссии, получить количественные зависимости между величинами, определяющими то или иное явление.

Однако теория Друде не свободна от внутренних противоречий, в частности зависимость электросопротивления металлов от температуры, получаемая в рамках теории отличается от экспериментальной.

Современная физика твердого тела базируется на представлениях квантовой механики, а для описания свойств электронного газа используется квантовая статистика, отличная от статистики Максвелла – Больцмана идеального газа, что позволяет разрешить проблемы неподвластные классической теории Друде-Лоренца.

7.2. Зонная теория твердых тел

7.2.1. Обобществление электронов в кристалле

Кристалл – это система большого количества взаимодействующих между собой атомов вещества. Существуют несколько моделей, описывающих состояние такой системы. В модели «почти свободных электронов» металл представляет для электронов потенциальную яму с плоским дном и вертикальными стенками. Следовательно, внутри металла потенциальное поле во всех точках будет одинаковым, не будет зависеть от координаты электрона внутри металла (Рис.7.3).

Рис.7.3 Рис.7.4

В этой модели не учтена периодичность потенциального поля кристалла, поэтому не может быть объяснено существование полупроводников и диэлектриков. В действительности валентные электроны в кристалле движутся в периодическом поле решетки, которое изменяет спектр возможных значений энергии валентных электронов. (Рис. 7.4).

З адача квантовой механики о поведении электрона в периодическом потенциальном поле кристалла точно не решается, применяются различные методы её приближенного решения. В основе рассмотрения энергетического спектра электронов в кристалле лежит картина уровней энергии электронов изолированного атома, спектр которого имеет дискретный характер (Рис. 7.5).

Рис.7.5