3.2 Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.

Рис. 3.5 Вывод дифференциальной зависимости между и .

Обозначим - интенсивность распределенной нагрузки, действующей на стержень. Тогда уравнение равновесия элемента стержня ( ) примет вид: . В результате получаем искомую дифференциальную зависимость между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки

.

(3.2)

3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.

Рассмотрим чистое центральное растяжение стержня силами интенсивностью . Будем считать, что внешние силы вызывают в стержне только упругие деформации, т.е. после снятия нагрузки стержень принимает свою первоначальную форму и размеры.

Рис. 3.7 Продольные и поперечные деформации стержня.

Введем обозначения:

абсолютная продольная деформация	относительная продольная деформация	относительная поперечная деформация	относительная поперечная деформация

На основе серии опытов со стержнями из различных материалов были установлены следующие положения закона Гука:

1) абсолютное удлинение стержня прямо пропорционально продольной силе , длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости материала стержня

.

(3.3)

2) относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации

(3.4)

В формуле (3.4) -коэффициент Пуассона, безразмерная величина. Знак минус в формуле (3.4) означает, что если в направлении оси стержень испытывает деформации растяжения, то в направлении осей стержень испытывает деформации сжатия.

Таким образом, для каждого материала существует две упругие постоянные : -модуль упругости и коэффициент Пуассона .

Если обе части формулы (3.3) разделить на , а затем воспользоваться формулами для нормальных напряжений и относительных деформаций, то закона Гука можно записать в виде

(3.5)

Из формулы (3.5) следует, что модуль упругости имеет туже размерность, что и напряжение, т.е. .Например, для прокатной стали , .

3.4 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.

Рассмотрим стержень, нагруженный на правом конце равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью , которая вызывает его растяжение (рис.3.8)

Рис. 3.8 Перемещения сечений а-а и b-b в растянутом стержне

Перемещение сечение равно . Сечение отстоит от сечения на , следовательно, его перемещение равно: . Таким образом, абсолютное удлинение участка равно: . Относительная деформация участка длиной равна: .

Производная от продольного перемещения равна относительной деформации:

(3.6)

С учетом формул (3.5) ,(3.1) выражение для относительной деформации можно записать в виде . Таким образом, уравнение, связывающее перемещения и усилия примет вид

.

(3.7)

Получим рабочие формулы для определения усилий и перемещений. Проинтегрируем обе части первого уравнения (3.2), в результате будем иметь

.

(3.8)

Выражение для продольной силы подставим в (3.7) и проинтегрируем его обе части, получим

.

(3.9)

Константы интегрирования и в формулах (3.8), (3.9) определяют из статических и кинематических граничных условий (рис.3.9):

Рис.3.9 Граничные условия

Кинематическое условие , статическое условие .

Если на стержне распределенная нагрузка отсутствует ( ), то уравнения (3.8), (3.9) принимают вид:

, .

(3.10)

Запишем уравнение равновесия элемента стержня в перемещениях. Для этого продифференцируем по обе части уравнения (3.7) и с учетом (3.2) получим:

(3.11)

Отметим также, что полное удлинение стержня определяется по формуле (взаимное удаление или сближение концов стержня )

(3.12)

Правило знаков для продольных перемещений: положительным перемещениям соответствуют перемещения, совпадающие с положительным направлением оси х.

Приведем примеры решения задач с использованием полученных уравнений.

Пример 3.2 Построить эпюру продольных сил и продольных перемещений для стержня переменного сечения от действия собственного веса. Длина стержня . Поперечное сечение прямоугольник: высота сечения , ширина меняется по длине от 0 до . Объемный вес материала стержня .

г)

Рис. 3.6 Эпюры усилий и перемещений.

Из подобия треугольников (рис 3.6 а, б) находим ширину поперечного сечения стержня в сечении с координатой . Уравнение равновесия отделенной части стержня (рис. 3.6 б) , , или . Закон

изменения продольной силы - квадратная парабола: , , .

Интенсивность распределенной нагрузки от сил собственного веса - изменяется по линейному закону: , .

Проверяем по формуле (3.8) . На свободном конце стержня продольная сила равна нулю . Тогда .

Определим перемещения поперечных сечений по формуле (3.9).

.

Константу найдем из условий закрепления . Тогда перемещение сечений изменяются по длине стержня по закону кубической параболы .

Строим эпюру по четырем точкам: , , , .

Все ординаты эпюры продольных перемещений меньше нуля (D<0), т.к. сечения перемещаются против оси x.

Константа пропорциональна перемещению поперечного сечения в начале координат.

Пример 3.3 Для стержня, нагруженного как показано на рис. 3.11 а, построить эпюру продольных усилий и перемещений .

Удаляем опорное устройство, - опорная реакция (рис. 3.11 б). Составляем уравнение равновесия .

Рис.3.11 К примеру 3.3

Начало координат на левом конце стержня.

Рис. 3.12 1-й участок 1-й участок. Используем формулу (3.10) . .

Рис. 3.13 2-ой участок 2-й участок. Используем формулу (3.10) Константу определяем из условия непрерывности перемещений на границе участков . .

Пример 3.4 Для стержня, нагруженного как показано на рис. 3.14 а, построить эпюру продольных сил и перемещений

Рис. 3.14 Статически неопределимая задача

Удалим опорные устройства, а действие их на стержень заменим неизвестными реакциями , .Составим уравнение равновесия (рис. 3.14 б)

, .

Имеем одно уравнение и два неизвестных , . Уравнений статики недостаточно для определения всех неизвестных реакций. Такая задача называется статически неопределимой. Для ее решения удобно использовать уравнения (3.10).

1-й участок. . Записываем уравнения (3.10) на первом участке , . Перемещение поперечного сечения на левом конце стержня равно нулю , .

2-й участок. . Записываем уравнения (3.10) на втором участке , . Перемещение поперечного сечения на правом конце стержня равно нулю или

( )

Перемещения сечений на границе участков равны , или

( )

Вырежем двумя близкими сечениями узел вблизи точки с координатой и запишем уравнение равновесия

.

Последнее уравнение примет вид

( )

Решаем систему уравнений ( )-( ) относительно . Умножаем ( ) на и складываем с ( ) в результате получаем . Из уравнения ( ) находим . Подставляем в ( ) получаем .

Записываем окончательные выражения для усилий и перемещений на участках:

1-й участок. . , ;

2-й участок. . , .

Строим эпюры усилий и перемещений (рис.3.14 в ,г)

Реакции в опорных сечениях , находим из уравнений равновесия узлов:

Таким образом, первоначальное направление надо заменить на противоположное (рис.3.14 б).