3. Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , тоопределенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, то есть

Эта формула сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла.

Разность называетсяприращением первообразной и обозначается .

Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).

14. Особенности вычисления определенных интегралов.

При замене переменных

(подстановках)

При интегрировании по частям

Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования.

Не следует забывать, что определенный интеграл – это число, при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все найденные функции.

;

где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ;

15. Применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур. Как следует из геометрического смысла определенного интеграла, для неотрицательной подынтегральной функции интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых и кривой . . В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой , а снизу - , формула для вычисления площадей принимает вид . В этой формуле знаки функций и значения не имеют.

а) Формула площади в декартовых координатах.

Итак, если ограничивающие кривые заданы в декартовых координатах , то .

б) Формула площади для кривой, заданной параметрически.

Если - параметрические уравнения гладкой замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающей слева от себя область , то площадь области = , или .